Calcul infinitésimal Exemples

$7 \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$7 \frac{d y}{d θ} = \frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{y}{e^{y}}$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y}{e^{y}} (\frac{e^{y}}{y} \cdot \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Associez.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y}{e^{y}} \cdot \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{y \sec (θ)}$

Étape 1.3.2

Associez.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{y (e^{y} \sin^{2} (θ))}{e^{y} (y \sec (θ))}$

Étape 1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} (\sec (θ))}$

Étape 1.3.4

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

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Étape 1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{e^{y} \sin^{2} (θ)}{e^{y} \sec (θ)}$

Étape 1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin^{2} (θ)}{\sec (θ)}$

Étape 1.3.5

Factorisez $\sin (θ)$ à partir de $\sin^{2} (θ)$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sec (θ)}$

Étape 1.3.6

Séparez les fractions.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\sec (θ)}$

Étape 1.3.7

Réécrivez $\sec (θ)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Étape 1.3.8

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \frac{\sin (θ)}{1} (\sin (θ) \cos (θ))$

Étape 1.3.9

Divisez $\sin (θ)$ par $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$

Étape 1.3.10

Multipliez $\sin (θ) (\sin (θ) \cos (θ))$ .

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Étape 1.3.10.1

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{1} (θ) \sin (θ) \cos (θ)$

Étape 1.3.10.2

Élevez $\sin (θ)$ à la puissance $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) \cos (θ)$

Étape 1.3.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = {\sin (θ)}^{1 + 1} \cos (θ)$

Étape 1.3.10.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y}{e^{y}} (7 \frac{d y}{d θ}) = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

Étape 1.4

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{y}{e^{y}} \cdot 7 \frac{d y}{d θ} = \sin^{2} (θ) \cos (θ)$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{y}{e^{y}} \cdot 7 d y = \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{e^{y}} \cdot 7 d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Associez $\frac{y}{e^{y}}$ et $7$ .

$\int \frac{y \cdot 7}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2.2.1.2

Déplacez $7$ à gauche de $y$ .

$\int \frac{7 y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2.2.2

Comme $7$ est constant par rapport à $y$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$7 \int \frac{y}{e^{y}} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.1

Inversez l’exposant de $e^{y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$7 \int y {(e^{y})}^{- 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2.2.3.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \int y e^{y \cdot - 1} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2.2.3.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$7 \int y e^{- 1 \cdot y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2.2.3.2.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$7 \int y e^{- y} d y = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2.2.4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = y$ et $d v = e^{- y}$ .

$7 (y (- e^{- y}) - \int - e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$7 (y (- e^{- y}) - - \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2.2.6

Simplifiez

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$7 (y (- e^{- y}) + 1 \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $\int e^{- y} d y$ par $1$ .

$7 (y (- e^{- y}) + \int e^{- y} d y) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2.2.7

Laissez $u_{1} = - y$ . Alors $d u_{1} = - d y$ , donc $- d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.7.1

Laissez $u_{1} = - y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.7.1.1

Différenciez $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.2.7.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.2.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$7 (y (- e^{- y}) + \int - e^{u_{1}} d u_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2.2.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$7 (y (- e^{- y}) - \int e^{u_{1}} d u_{1}) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2.2.9

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$7 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1})) = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2.2.10

Réécrivez $7 (y (- e^{- y}) - (e^{u_{1}} + C_{1}))$ comme $7 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) + C_{1}$ .

$7 (- y e^{- y} - e^{u_{1}}) + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2.2.11

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- y$ .

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \int \sin^{2} (θ) \cos (θ) d θ$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = \sin (θ)$ . Alors $d u_{2} = \cos (θ) d θ$ , donc $\frac{1}{\cos (θ)} d u_{2} = d θ$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = \sin (θ)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $\sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Étape 2.3.1.1.2

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (θ)$ .

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) + C_{1} = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$7 (- y e^{- y} - e^{- y}) = \frac{1}{3} \sin^{3} (θ) + K$