Calcul infinitésimal Exemples

$(1 - x^{2} y) d x + x^{2} (y - x) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 1 - x^{2} y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 - x^{2} y]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x^{2} y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Étape 1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x^{2} y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- x^{2} y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x^{2} y$ par rapport à $y$ est $- x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x^{2} \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x^{2}$

Étape 1.4

Soustrayez $x^{2}$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x^{2}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} (y - x)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} (y - x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y - x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} \frac{d}{d x} [y - x] + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} \frac{d}{d x} [- x] + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (- \frac{d}{d x} [x]) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} (- 1 \cdot 1) + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x^{2} \cdot - 1 + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot x^{2} + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.6.3

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + (y - x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + (y - x) (2 x)$

Étape 2.3.8

Déplacez $2$ à gauche de $y - x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 \cdot (y - x) x$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + (2 y + 2 (- x)) x$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x + 2 (- x) x$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 x \cdot x$

Étape 2.4.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 (x^{1} x)$

Étape 2.4.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 (x^{1} x^{1})$

Étape 2.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 x^{1 + 1}$

Étape 2.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x^{2} + 2 y x - 2 x^{2}$

Étape 2.4.3.6

Soustrayez $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + 2 y x$

Étape 2.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + 2 x y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- x^{2}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 3 x^{2} + 2 x y$ .

$- x^{2} = - 3 x^{2} + 2 x y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- x^{2} = - 3 x^{2} + 2 x y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 3 x^{2} + 2 x y$ .

$\frac{- x^{2} - (- 3 x^{2} + 2 x y)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $x^{2} (y - x)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $x^{2} (y - x)$ .

$\frac{- x^{2} - (- 3 x^{2} + 2 x y)}{x^{2} (y - x)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} - (- 3 x^{2}) - (2 x y)}{x^{2} (y - x)}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 3 x^{2} - (2 x y)}{x^{2} (y - x)}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2} + 3 x^{2} - 2 (x y)}{x^{2} (y - x)}$

Étape 4.3.2.4

Additionnez $- x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x y}{x^{2} (y - x)}$

Étape 4.3.2.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2} - 2 x y$ .

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Étape 4.3.2.5.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x) - 2 x y}{x^{2} (y - x)}$

Étape 4.3.2.5.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x y$ .

$\frac{2 x (x) + 2 x (- y)}{x^{2} (y - x)}$

Étape 4.3.2.5.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x) + 2 x (- y)$ .

$\frac{2 x (x - y)}{x^{2} (y - x)}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x (x - y)$ .

$\frac{x (2 (x - y))}{x^{2} (y - x)}$

Étape 4.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (y - x)$ .

$\frac{x (2 (x - y))}{x (x (y - x))}$

Étape 4.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (2 (x - y))}{x (x (y - x))}$

Étape 4.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 (x - y)}{x (y - x)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $x - y$ et $y - x$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{2 (- 1 (- x) - y)}{x (y - x)}$

Étape 4.3.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$\frac{2 (- 1 (- x) - (y))}{x (y - x)}$

Étape 4.3.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - (y)$ .

$\frac{2 (- 1 (- x + y))}{x (y - x)}$

Étape 4.3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (- 1 (- x + y))}{x (- x + y)}$

Étape 4.3.4.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (- x + y))}{x (- x + y)}$

Étape 4.3.4.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{x}$

Étape 4.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Étape 4.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(1 - x^{2} y) d x + x^{2} (y - x) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $1 - x^{2} y$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(1 - x^{2} y) \frac{1}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $1 - x^{2} y$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x^{2} (y - x)$ par $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + x^{2} (y - x) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} d x + (y - x) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y - x d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = y - x$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int y d y + \int - x d y$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x d y$

Étape 8.3

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C - x y + C$

Étape 8.4

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Étape 11.2

Différenciez.

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Étape 11.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Étape 11.2.2

Comme $\frac{1}{2} y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Étape 11.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - y + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$0 - y + \frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Soustrayez $y$ de $0$ .

$- y + \frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Étape 11.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - y = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1 - x^{2} y}{x^{2}} + y$

Étape 12.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.2.1

Divisez la fraction $\frac{1 - x^{2} y}{x^{2}}$ en deux fractions.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Étape 12.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 12.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{- x^{2} y}{x^{2}} + y$

Étape 12.1.2.2.1.2

Divisez $- 1 y$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - 1 y + y$

Étape 12.1.2.2.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} - y + y$

Étape 12.1.3

Associez les termes opposés dans $\frac{1}{x^{2}} - y + y$ .

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Étape 12.1.3.1

Additionnez $- y$ et $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}} + 0$

Étape 12.1.3.2

Additionnez $\frac{1}{x^{2}}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{1}{x^{2}}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 13.3

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 13.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 13.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 13.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g (x) = \int x^{- 2} d x$

Étape 13.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$g (x) = - x^{- 1} + C$

Étape 13.6

Réécrivez $- x^{- 1} + C$ comme $- \frac{1}{x} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{x} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} - x y - \frac{1}{x} + C$

Étape 15

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} - x y - \frac{1}{x} + C$