Calcul infinitésimal Exemples

$y d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 + 3 x - y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 + 3 x - y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + 3 x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.4

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 + 0$

Étape 2.5

Associez des termes.

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Étape 2.5.1

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3$ .

$1 = 3$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$1 = 3$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $3$ .

$\frac{3 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ .

$\frac{3 - 1}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y$ .

$\frac{3 - 1}{y}$

Étape 4.3.2

Remplacez $M$ par $y$ .

$\frac{2}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $2 \ln (| y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Étape 5.4.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $y d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $y^{2}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

$y \cdot y^{2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ .

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Étape 6.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{1} y^{2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Étape 6.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{1 + 2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Étape 6.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$y^{3} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $3 + 3 x - y$ par $y^{2}$ .

$y^{3} d x + (3 + 3 x - y) y^{2} d y = 0$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y \cdot y^{2}) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Déplacez $y^{2}$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - (y^{2} y)) d y = 0$

Étape 6.5.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 6.5.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - (y^{2} y^{1})) d y = 0$

Étape 6.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{2 + 1}) d y = 0$

Étape 6.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = y^{3}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = y^{3} x + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x + g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{3} x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Étape 11.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $3 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3} - 3 y^{2} x$

Étape 12.1.2

Associez les termes opposés dans $3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3} - 3 y^{2} x$ .

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Étape 12.1.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $3 x y^{2}$ et $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 y^{2} x - y^{3} - 3 y^{2} x$

Étape 12.1.2.2

Soustrayez $3 y^{2} x$ de $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3} + 0$

Étape 12.1.2.3

Additionnez $3 y^{2} - y^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $3 y^{2} - y^{3}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} - y^{3} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} - y^{3} d y$

Étape 13.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = \int 3 y^{2} d y + \int - y^{3} d y$

Étape 13.4

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y + \int - y^{3} d y$

Étape 13.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - y^{3} d y$

Étape 13.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - \int y^{3} d y$

Étape 13.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Étape 13.8

Simplifiez

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 13.9

Simplifiez

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Étape 13.9.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 13.9.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.9.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 13.9.2.2

Réécrivez l’expression.

$g (y) = 1 y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 13.9.3

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$g (y) = y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x + y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 15

Associez $y^{4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{3} x + y^{3} - \frac{y^{4}}{4} + C$