Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x + x y) d x + y d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x + x y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + x y]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + x y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 1.2.2

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Étape 1.4

Additionnez $0$ et $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$x = 0$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$x = 0$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x$ .

$\frac{0 - x}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $2 x + x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $2 x + x y$ .

$\frac{0 - x}{2 x + x y}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $x$ de $0$ .

$\frac{- x}{2 x + x y}$

Étape 4.3.3

Factorisez $x$ à partir de $2 x + x y$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x y}$

Étape 4.3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x (y)}$

Étape 4.3.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 2 + x (y)$ .

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{2 + y}$

Étape 4.3.5

Remplacez $M$ par $2 x + x y$ .

$- \frac{1}{2 + y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 + y} d y}$

Étape 5.2

Laissez $u = 2 + y$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.2.1

Laissez $u = 2 + y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 5.2.1.1

Différenciez $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Étape 5.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 5.2.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 5.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 5.2.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 5.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Étape 5.4

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Étape 5.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + y$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 + y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- \ln (| 2 + y |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 + y |}^{- 1})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| 2 + y |}^{- 1} + C$

Étape 5.6.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 + y |} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(2 x + x y) d x + y d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{2 + y}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $2 x + x y$ par $\frac{1}{2 + y}$ .

$(2 x + x y) \frac{1}{2 + y} d x + y d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $2 x + x y$ par $\frac{1}{2 + y}$ .

$\frac{2 x + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

Étape 6.3

Factorisez $x$ à partir de $2 x + x y$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2 + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

Étape 6.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{x \cdot 2 + x (y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Étape 6.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 2 + x (y)$ .

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $2 + y$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Étape 6.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x d x + y d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $y$ par $\frac{1}{2 + y}$ .

$x d x + y \frac{1}{2 + y} d y = 0$

Étape 6.6

Associez $y$ et $\frac{1}{2 + y}$ .

$x d x + \frac{y}{2 + y} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = x$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 + y}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Étape 11.3

Comme $\frac{1}{2} x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

Étape 11.5

Additionnez $0$ et $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

Étape 12

Déterminez la primitive de $\frac{y}{2 + y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 12.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 + y} d y$

Étape 12.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{2 + y} d y$

Étape 12.3

Remettez dans l’ordre $2$ et $y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{y + 2} d y$

Étape 12.4

Divisez $y$ par $y + 2$ .

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Étape 12.4.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$2$

$y$

$0$

Étape 12.4.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$1$
	$y$	+	$2$		$y$	+	$0$

Étape 12.4.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$2$

Étape 12.4.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y + 2$

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$

Étape 12.4.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$
					-	$2$

Étape 12.4.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$g (y) = \int 1 - \frac{2}{y + 2} d y$

Étape 12.5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = \int d y + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

Étape 12.6

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = y + C + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

Étape 12.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = y + C - \int \frac{2}{y + 2} d y$

Étape 12.8

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = y + C - (2 \int \frac{1}{y + 2} d y)$

Étape 12.9

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{y + 2} d y$

Étape 12.10

Laissez $u = y + 2$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 12.10.1

Laissez $u = y + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 12.10.1.1

Différenciez $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Étape 12.10.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 12.10.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 12.10.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 12.10.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 12.10.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 12.11

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$g (y) = y + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

Étape 12.12

Simplifiez

$g (y) = y - 2 \ln (| u |) + C$

Étape 12.13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + 2$ .

$g (y) = y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Étape 13

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Étape 14

Simplifiez $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$ .

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Étape 14.1.2

Simplifiez $- 2 \ln (| y + 2 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({| y + 2 |}^{2}) + C$

Étape 14.1.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y + 2 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({(y + 2)}^{2}) + C$

Étape 14.2

Pour écrire $- \ln ({(y + 2)}^{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 14.3

Associez $- \ln ({(y + 2)}^{2})$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 14.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

Étape 14.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.5.1

Multipliez $- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2$ .

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Étape 14.5.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - 2 \ln ({(y + 2)}^{2})}{2} + C$

Étape 14.5.1.2

Simplifiez $- 2 \ln ({(y + 2)}^{2})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({({(y + 2)}^{2})}^{2})}{2} + C$

Étape 14.5.2

Multipliez les exposants dans ${({(y + 2)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 14.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2 \cdot 2})}{2} + C$

Étape 14.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{4})}{2} + C$