Calcul infinitésimal Exemples

$(x - 1) \frac{d y}{d x} + x y = (x - 1) e^{- x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(x - 1) \frac{d y}{d x} + x y = (x - 1) e^{- x}$ par $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x - 1} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x - 1} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Étape 1.3.2

Divisez $e^{- x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = e^{- x}$

Étape 1.4

Factorisez $y$ à partir de $\frac{x y}{x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x}{x - 1} = e^{- x}$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{x}{x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x}{x - 1} y = e^{- x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{x}{x - 1} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{x}{x - 1}$ .

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Étape 2.2.1

Divisez $x$ par $x - 1$ .

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Étape 2.2.1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Étape 2.2.1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

Étape 2.2.1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

Étape 2.2.1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 1$

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

Étape 2.2.1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

Étape 2.2.1.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$e^{\int 1 + \frac{1}{x - 1} d x}$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x}$

Étape 2.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x}$

Étape 2.2.4

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.4.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.4.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 2.2.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.4.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$e^{x + \ln (| x - 1 |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x + \ln (x - 1)}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{x}{x - 1} y) = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{x}{x - 1}$ et $y$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x - 1)} \frac{x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Étape 3.2.2

Associez $e^{x + \ln (x - 1)}$ et $\frac{x y}{x - 1}$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Étape 3.3

Pour écrire $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1)}{x - 1} + \frac{e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1) + e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Factorisez $e^{x + \ln (x - 1)}$ à partir de $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1) + e^{x + \ln (x - 1)} x y$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $e^{x + \ln (x - 1)}$ à partir de $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Étape 3.5.1.2

Factorisez $e^{x + \ln (x - 1)}$ à partir de $e^{x + \ln (x - 1)} x y$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} (x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $e^{x + \ln (x - 1)}$ à partir de $e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} (x y)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1) + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Étape 3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Étape 3.5.3

Déplacez $- 1$ à gauche de $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - 1 \cdot \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Étape 3.5.4

Réécrivez $- 1 \frac{d y}{d x}$ comme $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Étape 3.6

Multipliez $e^{x + \ln (x - 1)}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1) - x}$

Étape 3.6.2

Associez les termes opposés dans $x + \ln (x - 1) - x$ .

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Étape 3.6.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{0 + \ln (x - 1)}$

Étape 3.6.2.2

Additionnez $0$ et $\ln (x - 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{\ln (x - 1)}$

Étape 3.7

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$

Étape 3.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x - 1)} y] = x - 1$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x - 1)} y] d x = \int x - 1 d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \int x - 1 d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \int x d x + \int - 1 d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Étape 7.3

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

Étape 7.4

Simplifiez

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ par $e^{x + \ln (x - 1)}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ par $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} y}{e^{x + \ln (x - 1)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} y}{e^{x + \ln (x - 1)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Étape 8.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Étape 8.3.1.3

Associez.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Étape 8.3.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Étape 8.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} - \frac{x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$