Calcul infinitésimal Exemples

$4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ par $4 x y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ par $4 x y$ .

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Étape 1.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Étape 1.1.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Étape 1.1.2.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.1.3.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

Étape 1.1.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} + \frac{- 1}{4 x y}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} - \frac{1}{4 x y}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Pour écrire $\frac{y}{4 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{4 x y}$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{y}{4 x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} - \frac{1}{4 x y}$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 1}{4 x y}$

Étape 1.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y - 1}{4 x y}$

Étape 1.2.4.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y^{1} - 1}{4 x y}$

Étape 1.2.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1 + 1} - 1}{4 x y}$

Étape 1.2.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1}{4 x y}$

Étape 1.2.4.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1^{2}}{4 x y}$

Étape 1.2.4.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = y$ et $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 x y}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} (\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $4 y$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $4 y$ à partir de $4 y x$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y (x)}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $(y + 1) (y - 1)$ .

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Étape 1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u = (y + 1) (y - 1)$ . Alors $d u = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = (y + 1) (y - 1)$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

Étape 2.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y + 1$ et $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.2.2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.2.1.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.2.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.2.1.3.4.2

Multipliez $y + 1$ par $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.2.1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 2.2.2.1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 2.2.2.1.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

Étape 2.2.2.1.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.2.1.3.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.3.8.2

Multipliez $y - 1$ par $1$ .

$y + 1 + y - 1$

Étape 2.2.2.1.3.8.3

Additionnez $y$ et $y$ .

$2 y + 1 - 1$

Étape 2.2.2.1.3.8.4

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.2.2.1.3.8.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$2 y + 0$

Étape 2.2.2.1.3.8.4.2

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$2 y$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$4 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$2 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(y + 1) (y - 1)$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = \ln (| x |) + C$