Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{1 + x}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1 + x}{x}$ par $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x y}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{y x}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{y x}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{1 + x}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x}{x} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{x} d x$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int d x$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int d x$

Étape 2.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + x + C_{3}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + x + C_{4}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x + \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 x + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 3.3

Simplifiez $2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$y^{2} = 2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.5

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$