Calcul infinitésimal Exemples

$2 x y y' = 1 + y^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$2 x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$

Étape 2

Séparez les variables.

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Étape 2.1

Divisez chaque terme dans $2 x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$ par $2 x y$ et simplifiez.

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Étape 2.1.1

Divisez chaque terme dans $2 x y \frac{d y}{d x} = 1 + y^{2}$ par $2 x y$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.2.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1.3.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 2.1.3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y \cdot y}{2 x y}$

Étape 2.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Étape 2.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y \cdot y}{y (2 x)}$

Étape 2.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y}{2 x}$

Étape 2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.1

Pour écrire $\frac{y}{2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y}{2 x} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{y}{2 x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x y} + \frac{y \cdot y}{2 x y}$

Étape 2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y \cdot y}{2 x y}$

Étape 2.2.4

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{2 x y}$

Étape 2.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{2 y} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 2.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{2 y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{1 + y^{2}} (\frac{1 + y^{2}}{2 y} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Multipliez $\frac{1 + y^{2}}{2 y}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{2 y x}$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun de $2 y$ .

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y x$ .

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{2 y (x)}$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{2 y x}$

Étape 2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Étape 2.5.3

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

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Étape 2.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Étape 2.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 2.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{2 y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2 y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.2

Laissez $u = 1 + y^{2}$ . Alors $d u = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.2.2.1

Laissez $u = 1 + y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Différenciez $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Étape 3.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 3.2.2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 3.2.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Étape 3.2.2.1.5

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$2 y$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.5

Simplifiez

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Étape 3.2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.5.3

Multipliez $\int \frac{1}{u} d u$ par $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + y^{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Étape 4.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |}) = C$

Étape 4.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |})} = e^{C}$

Étape 4.4

Réécrivez $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{| x |}$

Étape 4.5

Résolvez $y$ .

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Étape 4.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |} = e^{C}$

Étape 4.5.2

Multipliez les deux côtés par $| x |$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Étape 4.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 4.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Étape 4.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| 1 + y^{2} | = e^{C} | x |$

Étape 4.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} | x |$ .

$| 1 + y^{2} | = | x | e^{C}$

Étape 4.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm | x | e^{C}$

Étape 4.5.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm | x | e^{C}$ .

$1 + y^{2} = \pm e^{C} | x |$

Étape 4.5.4.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} = \pm e^{C} | x | - 1$

Étape 4.5.4.5

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\pm e^{C} | x | - 1}$

Étape 5

Regroupez les termes constants.

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Étape 5.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \sqrt{\pm C | x | - 1}$

Étape 5.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \pm \sqrt{C | x | - 1}$