Calcul infinitésimal Exemples

$x (x + 2 y) d y + (4 x y + 3 y^{2} - x) d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez.

$(4 x y + 3 y^{2} - x) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 4 x y + 3 y^{2} - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y + 3 y^{2} - x]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x y + 3 y^{2} - x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [4 x y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $4 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 x y$ par rapport à $y$ est $4 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y^{2}$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $4 x + 6 y$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x (x + 2 y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2 y)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x + 2 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 2 y] + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2 y]) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.3

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y) \cdot 1$

Étape 3.3.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.6.1

Multipliez $x + 2 y$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 2 y$

Étape 3.3.6.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 x + 6 y$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 2 y$ .

$4 x + 6 y = 2 x + 2 y$

Étape 4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$4 x + 6 y = 2 x + 2 y$ n’est pas une identité.

Étape 5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 x + 6 y$ .

$\frac{4 x + 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 5.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 2 y$ .

$\frac{4 x + 6 y - (2 x + 2 y)}{N}$

Étape 5.3

Remplacez $N$ par $x (x + 2 y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Remplacez $N$ par $x (x + 2 y)$ .

$\frac{4 x + 6 y - (2 x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x + 6 y - (2 x) - (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 x + 6 y - 2 x - (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 x + 6 y - 2 x - 2 y}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.2.4

Soustrayez $2 x$ de $4 x$ .

$\frac{2 x + 6 y - 2 y}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.2.5

Soustrayez $2 y$ de $6 y$ .

$\frac{2 x + 4 y}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.2.6

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 4 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4 y}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.2.6.2

Factorisez $2$ à partir de $4 y$ .

$\frac{2 (x) + 2 (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.2.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (2 y)$ .

$\frac{2 (x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $x + 2 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x}$

Étape 5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Étape 6

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 6.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 6.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Étape 6.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Simplifiez $2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Étape 6.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Étape 6.4.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Étape 7

Multipliez les deux côtés de $(4 x y + 3 y^{2} - x) d x + x (x + 2 y) d y = 0$ par le facteur d’intégration $x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez $4 x y + 3 y^{2} - x$ par $x^{2}$ .

$(4 x y + 3 y^{2} - x) x^{2} d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Étape 7.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(4 (x^{2} x) y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(4 (x^{2} x^{1}) y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Étape 7.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 x^{2 + 1} y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Étape 7.3.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Étape 7.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - (x^{2} x)) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Étape 7.3.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - (x^{2} x^{1})) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Étape 7.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{2 + 1}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Étape 7.3.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Étape 7.4

Multipliez $x (x + 2 y)$ par $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x (x + 2 y) x^{2} d y = 0$

Étape 7.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2} x (x + 2 y) d y = 0$

Étape 7.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2} x^{1} (x + 2 y) d y = 0$

Étape 7.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2 + 1} (x + 2 y) d y = 0$

Étape 7.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{3} (x + 2 y) d y = 0$

Étape 7.6

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3} x + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Étape 7.7

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3} x^{1} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Étape 7.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3 + 1} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Étape 7.7.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{4} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Étape 7.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{4} + 2 x^{3} y) d y = 0$

Étape 8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} + 2 x^{3} y d y$

Étape 9

Intégrez $N (x, y) = x^{4} + 2 x^{3} y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x^{4} d y + \int 2 x^{3} y d y$

Étape 9.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x^{4} y + C + \int 2 x^{3} y d y$

Étape 9.3

Comme $2 x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , placez $2 x^{3}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x^{4} y + C + 2 x^{3} \int y d y$

Étape 9.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + C + 2 x^{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 9.5

Simplifiez

$f (x, y) = x^{4} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{3} y^{2} + C$

Étape 9.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.6.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Étape 9.6.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = x^{4} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Étape 9.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = x^{4} y + 1 x^{3} y^{2} + C$

Étape 9.6.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + C$

Étape 10

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$

Étape 11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Étape 12

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Étape 12.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{4} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Étape 12.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Étape 12.3.3

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Étape 12.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.4.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{3} y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 y x^{3} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Étape 12.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 y x^{3} + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Étape 12.4.3

Déplacez $3$ à gauche de $y^{2}$ .

$4 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Étape 12.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$4 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Étape 12.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Étape 13

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Soustrayez $4 x^{3} y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y$

Étape 13.1.2

Soustrayez $3 x^{2} y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 13.1.3

Associez les termes opposés dans $4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.3.1

Soustrayez $4 x^{3} y$ de $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y^{2} x^{2} - x^{3} + 0 - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 13.1.3.2

Additionnez $3 y^{2} x^{2} - x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 13.1.3.3

Réorganisez les facteurs dans les termes $3 y^{2} x^{2}$ et $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y^{2} - x^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Étape 13.1.3.4

Soustrayez $3 x^{2} y^{2}$ de $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3} + 0$

Étape 13.1.3.5

Additionnez $- x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3}$

Étape 14

Déterminez la primitive de $- x^{3}$ afin de déterminer $g (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{3} d x$

Étape 14.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{3} d x$

Étape 14.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - \int x^{3} d x$

Étape 14.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Étape 14.5

Réécrivez $- (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ comme $- \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 15

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Étape 16

Associez $x^{4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} - \frac{x^{4}}{4} + C$