Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d F}{d x} = 5 x + 4 e^{x}$ , $F (0) = 8$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d F = (5 x + 4 e^{x}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d F = \int 5 x + 4 e^{x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$F + C_{1} = \int 5 x + 4 e^{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$F + C_{1} = \int 5 x d x + \int 4 e^{x} d x$

Étape 2.3.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$F + C_{1} = 5 \int x d x + \int 4 e^{x} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$F + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 4 e^{x} d x$

Étape 2.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$F + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 4 \int e^{x} d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$F + C_{1} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 4 (e^{x} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$F + C_{1} = 5 (\frac{1}{2}) x^{2} + 4 e^{x} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Associez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

$F + C_{1} = \frac{5}{2} x^{2} + 4 e^{x} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$F = \frac{5}{2} x^{2} + 4 e^{x} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $F$ par $8$ dans $F = \frac{5}{2} x^{2} + 4 e^{x} + K$ .

$8 = \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K = 8$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K = 8$

Étape 4.2

Simplifiez $\frac{5}{2} \cdot 0^{2} + 4 e^{0} + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0 + 4 e^{0} + K = 8$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $\frac{5}{2}$ par $0$ .

$0 + 4 e^{0} + K = 8$

Étape 4.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 4 \cdot 1 + K = 8$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$0 + 4 + K = 8$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$4 + K = 8$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$K = 8 - 4$

Étape 4.3.2

Soustrayez $4$ de $8$ .

$K = 4$

Étape 5

Remplacez $K$ par $4$ dans $F = \frac{5}{2} x^{2} + 4 e^{x} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $4$ .

$F = \frac{5}{2} x^{2} + 4 e^{x} + 4$

Étape 5.2

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{2}$ .

$F = \frac{5 x^{2}}{2} + 4 e^{x} + 4$