Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(1 - 3 y)}^{2}}{x}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \cdot \frac{{(1 - 3 y)}^{2}}{x}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Associez.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 - 3 y)}^{2}}{{(1 - 3 y)}^{2} x}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de ${(1 - 3 y)}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(1 - 3 y)}^{2}}{{(1 - 3 y)}^{2} x}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{{(1 - 3 y)}^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 1 - 3 y$ . Alors $d u = - 3 d y$ , donc $- \frac{1}{3} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 1 - 3 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $1 - 3 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 3 y]$

Étape 2.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 3 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Étape 2.2.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3 y$ par rapport à $y$ est $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$0 - 3$

Étape 2.2.1.1.4

Soustrayez $3$ de $0$ .

$- 3$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $u^{2}$ .

$\int - \frac{1}{3 u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{3 u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.5.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{3} \int u^{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.7

Simplifiez

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Étape 2.2.7.1

Réécrivez $- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C_{1})$ comme $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.7.2

Simplifiez

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Étape 2.2.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.7.2.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.7.2.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{3 u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 3 y$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$3 (1 - 3 y), 1, 1$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$3 (1 - 3 y)$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$ par $3 (1 - 3 y)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{3 (1 - 3 y)} = \ln (| x |) + C$ par $3 (1 - 3 y)$ .

$\frac{1}{3 (1 - 3 y)} (3 (1 - 3 y)) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{1}{3 (1 - 3 y)} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{1}{3 (1 - 3 y)} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Étape 3.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 - 3 y} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Étape 3.2.2.3

Annulez le facteur commun de $1 - 3 y$ .

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Étape 3.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 - 3 y} (1 - 3 y) = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Étape 3.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \ln (| x |) (3 (1 - 3 y)) + C (3 (1 - 3 y))$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = 3 \ln (| x |) (1 - 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Étape 3.2.3.1.2

Simplifiez $3 \ln (| x |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) (1 - 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Étape 3.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) \cdot 1 + \ln ({| x |}^{3}) (- 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Étape 3.2.3.1.4

Multipliez $\ln ({| x |}^{3})$ par $1$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) + \ln ({| x |}^{3}) (- 3 y) + C (3 (1 - 3 y))$

Étape 3.2.3.1.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - 3 \ln ({| x |}^{3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Étape 3.2.3.1.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.6.1

Simplifiez $- 3 \ln ({| x |}^{3})$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({({| x |}^{3})}^{3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Étape 3.2.3.1.6.2

Multipliez les exposants dans ${({| x |}^{3})}^{3}$ .

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Étape 3.2.3.1.6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{3 \cdot 3}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Étape 3.2.3.1.6.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + C (3 (1 - 3 y))$

Étape 3.2.3.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C (1 - 3 y)$

Étape 3.2.3.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C \cdot 1 + 3 C (- 3 y)$

Étape 3.2.3.1.9

Multipliez $3$ par $1$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C + 3 C (- 3 y)$

Étape 3.2.3.1.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C + 3 \cdot - 3 C y$

Étape 3.2.3.1.11

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C - 9 C y$

Étape 3.2.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln ({| x |}^{3}) - \ln ({| x |}^{9}) y + 3 C - 9 C y$ .

$1 = \ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y = 1$ .

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) + 3 C - 9 C y = 1$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) = - 3 C + 9 C y + 1$

Étape 3.3.3

Soustrayez $9 C y$ des deux côtés de l’équation.

$\ln ({| x |}^{3}) - y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y = - 3 C + 1$

Étape 3.3.4

Soustrayez $\ln ({| x |}^{3})$ des deux côtés de l’équation.

$- y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Étape 3.3.5

Factorisez $y$ à partir de $- y \ln ({| x |}^{9}) - 9 C y$ .

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Étape 3.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- y \ln ({| x |}^{9})$ .

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) - 9 C y = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Étape 3.3.5.2

Factorisez $y$ à partir de $- 9 C y$ .

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) + y (- 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Étape 3.3.5.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- 1 \ln ({| x |}^{9})) + y (- 9 C)$ .

$y (- 1 \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Étape 3.3.6

Réécrivez $- 1 \ln ({| x |}^{9})$ comme $- \ln ({| x |}^{9})$ .

$y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$

Étape 3.3.7

Divisez chaque terme dans $y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$ par $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ et simplifiez.

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Étape 3.3.7.1

Divisez chaque terme dans $y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C) = - 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})$ par $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ .

$\frac{y (- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C)}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} = \frac{- 3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Étape 3.3.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.7.2.1

Annulez le facteur commun de $- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C$ .

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Étape 3.3.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 3.3.7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Étape 3.3.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.7.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{- \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Étape 3.3.7.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{3 C}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} + \frac{1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} - \frac{\ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Étape 3.3.7.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.7.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 3 C + 1}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C} - \frac{\ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Étape 3.3.7.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 3 C + 1 - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Étape 3.3.7.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 C$ .

$y = \frac{- (3 C) + 1 - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Étape 3.3.7.3.2.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{- (3 C) - 1 (- 1) - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Étape 3.3.7.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 C) - 1 (- 1)$ .

$y = \frac{- (3 C - 1) - \ln ({| x |}^{3})}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Étape 3.3.7.3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 C - 1) - \ln ({| x |}^{3})$ .

$y = \frac{- (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Étape 3.3.7.3.2.7

Réécrivez $- (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))$ comme $- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - 9 C}$

Étape 3.3.7.3.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- 9 C$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- \ln ({| x |}^{9}) - (9 C)}$

Étape 3.3.7.3.2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln ({| x |}^{9}) - (9 C)$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Étape 3.3.7.3.2.10

Réécrivez $- (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)$ comme $- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)$ .

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Étape 3.3.7.3.2.11

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 1 (3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3}))}{- 1 (\ln ({| x |}^{9}) + 9 C)}$

Étape 3.3.7.3.2.12

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{3 C - 1 + \ln ({| x |}^{3})}{\ln ({| x |}^{9}) + 9 C}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{C + \ln ({| x |}^{3})}{\ln ({| x |}^{9}) + C}$