Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x}{y - 2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y - 2$ .

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = (y - 2) \frac{6 x}{y - 2}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y - 2$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = (y - 2) \frac{6 x}{y - 2}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(y - 2) \frac{d y}{d x} = 6 x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(y - 2) d y = 6 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y - 2 d y = \int 6 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y d y + \int - 2 d y = \int 6 x d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 2 d y = \int 6 x d x$

Étape 2.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int 6 x d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 6 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ comme $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.3.2.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 x^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y = 3 x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = 3 x^{2} + K$

Étape 3.2

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - 3 x^{2} = K$

Étape 3.2.2

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - 3 x^{2} - K = 0$

Étape 3.3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} + 2 (- 2 y) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y^{2} - 4 y + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$y^{2} - 4 y - 6 x^{2} + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} - 4 y - 6 x^{2} - 2 K = 0$

Étape 3.3.3

Déplacez $- 4 y$ .

$y^{2} - 6 x^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Étape 3.3.4

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $- 6 x^{2}$ .

$- 6 x^{2} + y^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = - 6 x^{2} - 2 K$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)$ .

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Étape 3.6.1.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.1.2

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.1.3

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 6 x^{2} - 2 K$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4 - 6 x^{2} - 2 K$ .

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Étape 3.6.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) - 6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2}) - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 K$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2}) + 2 (- K))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2) + 2 (- 3 x^{2})$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 3 x^{2}) + 2 (- K))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2 - 3 x^{2}) + 2 (- K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot (2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.4

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 8 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5

Réécrivez $- 8 (- 2 - 3 x^{2} - K)$ comme $2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))$ .

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Étape 3.6.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 2) (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.5.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

Étape 3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} - K)}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = 2 + \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 2 (- 2 - 3 x^{2} + K)}$