Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y + 1} - y$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1}}{x} + \frac{- y}{x}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} - y}{x}$

Étape 1.1.3.2

Pour écrire $- y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} - y \cdot \frac{y + 1}{y + 1}}{x}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.3.3.1

Associez $- y$ et $\frac{y + 1}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1}{y + 1} + \frac{- y (y + 1)}{y + 1}}{x}$

Étape 1.1.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y (y + 1)}{y + 1}}{x}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y \cdot y - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.4.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - (y \cdot y) - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

Étape 1.1.3.4.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y^{2} - y \cdot 1}{y + 1}}{x}$

Étape 1.1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y - 1 - y^{2} - y}{y + 1}}{x}$

Étape 1.1.3.4.4

Soustrayez $y$ de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 - y^{2} + 0}{y + 1}}{x}$

Étape 1.1.3.4.5

Additionnez $- 1 - y^{2}$ et $0$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 - y^{2}}{y + 1}}{x}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.3.5.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1) - y^{2}}{y + 1}}{x}$

Étape 1.1.3.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1) - (y^{2})}{y + 1}}{x}$

Étape 1.1.3.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- 1 (1 + y^{2})}{y + 1}}{x}$

Étape 1.1.3.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- \frac{1 + y^{2}}{y + 1}}{x}$

Étape 1.1.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.1.3.7

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1 + y^{2}}{y + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{x (y + 1)}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{1 + y^{2}} (- \frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{1 + y^{2}} (\frac{1 + y^{2}}{y + 1} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 1.4.2

Multipliez $\frac{1 + y^{2}}{y + 1}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{y + 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 1.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- (y + 1)}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Étape 1.4.3.2

Factorisez $y + 1$ à partir de $- (y + 1)$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Étape 1.4.3.3

Factorisez $y + 1$ à partir de $(y + 1) x$ .

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) (x)}$

Étape 1.4.3.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) \cdot - 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{(y + 1) x}$

Étape 1.4.3.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Étape 1.4.4

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

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Étape 1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{x}$

Étape 1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{y + 1}{1 + y^{2}} d y = - \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y + 1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction $\frac{y + 1}{1 + y^{2}}$ en deux fractions.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} + \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Laissez $u = 1 + y^{2}$ . Alors $d u = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.3.1

Laissez $u = 1 + y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Différenciez $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Étape 2.2.3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.3.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.3.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Étape 2.2.3.1.5

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$2 y$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.7

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.8

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\arctan (y) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) + \arctan (y) + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.9

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + \arctan (y) = - \ln (| x |) + C$