Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - 5 \sec^{2} (x - 2)$ , $y (2) = - 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = - 5 \sec^{2} (x - 2) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - 5 \sec^{2} (x - 2) d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - 5 \sec^{2} (x - 2) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 5$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - 5 \int \sec^{2} (x - 2) d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = x - 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = x - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.2.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = - 5 \int \sec^{2} (u) d u$

Étape 2.3.3

Comme la dérivée de $\tan (u)$ est $\sec^{2} (u)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (u)$ est $\tan (u)$ .

$y + C_{1} = - 5 (\tan (u) + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$y + C_{1} = - 5 \tan (u) + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 2$ .

$y + C_{1} = - 5 \tan (x - 2) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - 5 \tan (x - 2) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $2$ et $y$ par $- 1$ dans $y = - 5 \tan (x - 2) + K$ .

$- 1 = - 5 \tan (2 - 2) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- 5 \tan (2 - 2) + K = - 1$ .

$- 5 \tan (2 - 2) + K = - 1$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $- 5 \tan (2 - 2) + K$ .

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Étape 4.2.1.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$- 5 \tan (0) + K = - 1$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.2.1

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$- 5 \cdot 0 + K = - 1$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$0 + K = - 1$

Étape 4.2.1.3

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = - 1$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 1$ dans $y = - 5 \tan (x - 2) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 1$ .

$y = - 5 \tan (x - 2) - 1$