Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

Étape 1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

Étape 1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2}$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $6 x - x^{3}$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $6 x$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 - x^{3}}{2}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3}$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 + x (- x^{2})}{2}$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 6 + x (- x^{2})$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x (6 - x^{2})}{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x (6 - x^{2}) d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 6 - x^{2}$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 6 - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $6 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.2.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 2.3.2.1.4

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 2.3.3.2

Associez $u$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{u}{2} d u$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{u}{2} d u)$

Étape 2.3.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int u d u))$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int u d u$

Étape 2.3.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u d u$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.8

Simplifiez

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Étape 2.3.8.1

Réécrivez $- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ comme $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.8.2

Simplifiez

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Étape 2.3.8.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 4} u^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.8.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} u^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez ${(6 - x^{2})}^{2}$ et $\frac{1}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K \cdot \frac{8}{8})$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $K$ et $\frac{8}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + \frac{K \cdot 8}{8})$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{8}$

Étape 3.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 (4)}$

Étape 3.2.2.1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Étape 3.2.2.1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{4}$

Étape 3.2.2.1.4

Déplacez $8$ à gauche de $K$ .

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + 8 K}{4}$

Étape 3.2.2.1.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.2.2.1.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- {(6 - x^{2})}^{2}$ .

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) + 8 K}{4}$

Étape 3.2.2.1.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $8 K$ .

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)}{4}$

Étape 3.2.2.1.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)$ .

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

Étape 3.2.2.1.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1.5.4.1

Réécrivez $- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ comme $- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ .

$y^{2} = \frac{- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

Étape 3.2.2.1.5.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez ${(6 - x^{2})}^{2}$ comme $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{(6 - x^{2}) (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Étape 3.4.2

Développez $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 (6 - x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Étape 3.4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Étape 3.4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Étape 3.4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Étape 3.4.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Étape 3.4.3.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Étape 3.4.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - 8 K}{4}}$

Étape 3.4.3.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.3.1.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - 8 K}{4}}$

Étape 3.4.3.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - 8 K}{4}}$

Étape 3.4.3.1.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

Étape 3.4.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

Étape 3.4.3.1.7

Multipliez $x^{4}$ par $1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

Étape 3.4.3.2

Soustrayez $6 x^{2}$ de $- 6 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

Étape 3.4.4

Réécrivez $- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}$ comme ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))$ .

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Étape 3.4.4.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{4}}$

Étape 3.4.4.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.4.4.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

Étape 3.4.4.4

Remettez dans l’ordre $- 1$ et ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Étape 3.4.4.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Étape 3.4.4.6

Ajoutez des parenthèses.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

Étape 3.4.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Étape 3.4.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Étape 3.4.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$