Calcul infinitésimal Exemples

$2 \frac{d y}{d x} = (10 + 4 \sin (t)) y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} ((10 + 4 \sin (t)) y)$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $(10 + 4 \sin (t)) y$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = 10 + 4 \sin (t)$

Étape 1.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{1}{y} \cdot 2 \frac{d y}{d x} = 10 + 4 \sin (t)$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} \cdot 2 d y = (10 + 4 \sin (t)) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} \cdot 2 d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{1}{y}$ et $2$ .

$\int \frac{2}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de la constante.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = (10 + 4 \sin (t)) x + C_{2}$

Étape 2.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x (10 + 4 \sin (t)) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ par $2$ .

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $\ln (| y |)$ par $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Annulez le facteur commun à $10 + 4 \sin (t)$ et $2$ .

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Étape 3.1.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $x (10 + 4 \sin (t))$ .

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 (1)} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 \cdot 1} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) = \frac{x (5 + 2 \sin (t))}{1} + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.1.2.4

Divisez $x (5 + 2 \sin (t))$ par $1$ .

$\ln (| y |) = x (5 + 2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y |) = x \cdot 5 + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\ln (| y |) = 5 \cdot x + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Étape 3.1.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$

Étape 3.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}} = | y |$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$ .

$| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Étape 3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$ comme $e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{5 x + 2 x \sin (t)}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{5 x + 2 x \sin (t)}$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{5 x + 2 x \sin (t)}$