Calcul infinitésimal Exemples

$x y \frac{d y}{d x} = (1 + x^{2}) (1 + y^{2})$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x y \frac{d y}{d x} = (1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ par $x y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x y \frac{d y}{d x} = (1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ par $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Étape 1.1.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{y}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} (\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + y^{2}}{y})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{1 + x^{2}}{x}$ par $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x y}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{y x}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{y x}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{x}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

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Étape 1.4.3.1

Factorisez $1 + y^{2}$ à partir de $(1 + x^{2}) (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})}{x}$

Étape 1.4.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{(1 + y^{2}) (1 + x^{2})}{x}$

Étape 1.4.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x^{2}}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 1 + y^{2}$ . Alors $d u = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 1 + y^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 y$ .

$2 y$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1 + x^{2}}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} + \frac{x^{2}}{x} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x^{2}}{x} d x$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x} d x$

Étape 2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x$

Étape 2.3.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Étape 2.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x$

Étape 2.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x}{1} d x$

Étape 2.3.3.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int x d x$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int x d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{3}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \frac{x^{2}}{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 3.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = x^{2} + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |) = x^{2} + 2 C$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Simplifiez $\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = x^{2} + 2 C$

Étape 3.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (x^{2}) = x^{2} + 2 C$

Étape 3.4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = x^{2} + 2 C$

Étape 3.5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}})} = e^{x^{2} + 2 C}$

Étape 3.6

Réécrivez $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = x^{2} + 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + 2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}$

Étape 3.7

Résolvez $y$ .

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Étape 3.7.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{x^{2} + 2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{x^{2} + 2 C}$

Étape 3.7.2

Multipliez les deux côtés par $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{x^{2} + 2 C} x^{2}$

Étape 3.7.3

Simplifiez

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Étape 3.7.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{x^{2} + 2 C} x^{2}$

Étape 3.7.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$| 1 + y^{2} | = e^{x^{2} + 2 C} x^{2}$

Étape 3.7.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.7.3.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x^{2} + 2 C} x^{2}$ .

$| 1 + y^{2} | = x^{2} e^{x^{2} + 2 C}$

Étape 3.7.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.7.4.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm x^{2} e^{x^{2} + 2 C}$

Étape 3.7.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} = \pm x^{2} e^{x^{2} + 2 C} - 1$

Étape 3.7.4.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{x^{2} + 2 C} - 1}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{x^{2} + C} - 1}$

Étape 4.2

Réécrivez $e^{x^{2} + C}$ comme $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} (e^{x^{2}} e^{C}) - 1}$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{x^{2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} (e^{C} e^{x^{2}}) - 1}$

Étape 4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \pm \sqrt{C x^{2} e^{x^{2}} - 1}$