Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$ , $y (0) = 3$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int x^{2} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Associez $2$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{2 x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K)}$

Étape 3.4.2

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})}$

Étape 3.4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.3.1

Associez $K$ et $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})}$

Étape 3.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Étape 3.4.4

Déplacez $3$ à gauche de $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

Étape 3.4.5

Associez $2$ et $\frac{x^{3} + 3 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$

Étape 3.4.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.4.7

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 3.4.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 3.4.8.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 3.4.8.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 3.4.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 3.4.8.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.4.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 3.4.8.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Étape 3.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Étape 3.4.9.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

Étape 5

Comme $y$ est positif dans la condition initiale $(0, 3)$ , ne tenez compte que de $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ pour déterminer le $K$ . Remplacez $x$ par $0$ et $y$ par $3$ .

$3 = \frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$ .

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés par $3$ .

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.1.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{\sqrt{6 (0 + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Étape 6.3.1.1.1.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Étape 6.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Étape 6.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{6 K} = 3 \cdot 3$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\sqrt{6 K} = 9$

Étape 6.4

Résolvez $K$ .

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Étape 6.4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{6 K}}^{2} = 9^{2}$

Étape 6.4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 K}$ comme ${(6 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Étape 6.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.2.1

Simplifiez ${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Étape 6.4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Étape 6.4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(6 K)}^{1} = 9^{2}$

Étape 6.4.2.2.1.2

Simplifiez

$6 K = 9^{2}$

Étape 6.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.3.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$6 K = 81$

Étape 6.4.3

Divisez chaque terme dans $6 K = 81$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 6.4.3.1

Divisez chaque terme dans $6 K = 81$ par $6$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

Étape 6.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 6.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

Étape 6.4.3.2.1.2

Divisez $K$ par $1$ .

$K = \frac{81}{6}$

Étape 6.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.3.3.1

Annulez le facteur commun à $81$ et $6$ .

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Étape 6.4.3.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $81$ .

$K = \frac{3 (27)}{6}$

Étape 6.4.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.3.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Étape 6.4.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Étape 6.4.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$K = \frac{27}{2}$

Étape 7

Remplacez $K$ par $\frac{27}{2}$ dans $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $\frac{27}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + \frac{27}{2})}}{3}$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.1

Pour écrire $x^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

Étape 7.2.2

Associez $x^{3}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (\frac{x^{3} \cdot 2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

Étape 7.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{x^{3} \cdot 2 + 27}{2}}}{3}$

Étape 7.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{2 x^{3} + 27}{2}}}{3}$

Étape 7.2.5

Associez $6$ et $\frac{2 x^{3} + 27}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}}}{3}$

Étape 7.2.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.6.1

Réduisez l’expression $\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 7.2.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 (2 x^{3} + 27)$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2}}}{3}$

Étape 7.2.6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 (1)}}}{3}$

Étape 7.2.6.1.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 \cdot 1}}}{3}$

Étape 7.2.6.1.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt{\frac{3 (2 x^{3} + 27)}{1}}}{3}$

Étape 7.2.6.2

Divisez $3 (2 x^{3} + 27)$ par $1$ .

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} + 27)}}{3}$