Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = \sin (3 x)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (3 x)]$

Étape 1.2

Comme $\sin (3 x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\sin (3 x)$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 y \cos^{3} (3 x)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y \cos^{3} (3 x)]$

Étape 2.2

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y \cos^{3} (3 x)$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (3 x)$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 \cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Étape 2.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.5.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.6

Différenciez.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Étape 2.6.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.6.3

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \cdot 1$

Étape 2.6.5

Multipliez $- 18$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Étape 4.3.2

Annulez le facteur commun à $0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Étape 4.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Étape 4.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 \cdot 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Étape 4.3.2.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Étape 4.3.2.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

Étape 4.3.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

Étape 4.3.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

Étape 4.3.3.2

Additionnez $9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ et $0$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)}$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun à $\cos^{2} (3 x)$ et $\cos^{3} (3 x)$ .

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Étape 4.3.5.1

Factorisez $\cos^{2} (3 x)$ à partir de $9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{3} (3 x)}$

Étape 4.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.5.2.1

Factorisez $\cos^{2} (3 x)$ à partir de $\cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

Étape 4.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

Étape 4.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Étape 4.3.6

Séparez les fractions.

$\frac{9}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Étape 4.3.7

Convertissez de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ à $\tan (3 x)$ .

$\frac{9}{1} \tan (3 x)$

Étape 4.3.8

Divisez $9$ par $1$ .

$9 \tan (3 x)$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (3 x) d x}$

Étape 5.2

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.2.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.2.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 5.2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 5.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (u) \frac{1}{3} d u}$

Étape 5.3

Associez $\tan (u)$ et $\frac{1}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{9 \int \frac{\tan (u)}{3} d u}$

Étape 5.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{9 (\frac{1}{3} \int \tan (u) d u)}$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $9$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{9}{3} \int \tan (u) d u}$

Étape 5.5.2

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 5.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3} \int \tan (u) d u}$

Étape 5.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \tan (u) d u}$

Étape 5.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \tan (u) d u}$

Étape 5.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$μ (x, y) = e^{\frac{3}{1} \int \tan (u) d u}$

Étape 5.5.2.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$μ (x, y) = e^{3 \int \tan (u) d u}$

Étape 5.6

L’intégrale de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\ln (| \sec (u) |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| \sec (u) |) + C)}$

Étape 5.7

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (u) |)} + C$

Étape 5.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (3 x) |)} + C$

Étape 5.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.9.1

Simplifiez $3 \ln (| \sec (3 x) |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (3 x) |}^{3})} + C$

Étape 5.9.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| \sec (3 x) |}^{3} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\sec^{3} (3 x)$ .

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Étape 6.1

Multipliez $\sin (3 x)$ par $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sin (3 x) \sec^{3} (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Étape 6.2

Réécrivez $\sec (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Étape 6.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$\sin (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Étape 6.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sin (3 x) \frac{1}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Étape 6.5

Associez $\sin (3 x)$ et $\frac{1}{\cos^{3} (3 x)}$ .

$\frac{\sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Étape 6.6

Factorisez $\cos (3 x)$ à partir de $\cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos^{2} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Étape 6.7

Séparez les fractions.

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Étape 6.8

Convertissez de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ à $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Étape 6.9

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Étape 6.10

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)}$ comme ${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Étape 6.11

Convertissez de $\frac{1}{\cos (3 x)}$ à $\sec (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Étape 6.12

Multipliez $2 y \cos^{3} (3 x)$ par $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \sec^{3} (3 x) d y = 0$

Étape 6.13

Réécrivez $\sec (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d y = 0$

Étape 6.14

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Étape 6.15

Annulez le facteur commun de $\cos^{3} (3 x)$ .

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Étape 6.15.1

Factorisez $\cos^{3} (3 x)$ à partir de $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Étape 6.15.2

Annulez le facteur commun.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Étape 6.15.3

Réécrivez l’expression.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1^{3} d y = 0$

Étape 6.16

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1 d y = 0$

Étape 6.17

Multipliez $2$ par $1$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = 2 y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 2 \int y d y$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ comme $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Étape 8.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = 1 y^{2} + C$

Étape 8.3.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$f (x, y) = y^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Étape 11.3

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Étape 11.5

Additionnez $0$ et $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Étape 12

Déterminez la primitive de $\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 12.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

Étape 12.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

Étape 12.3

Laissez $u_{2} = \sec (3 x)$ . Alors $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 12.3.1

Laissez $u_{2} = \sec (3 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 12.3.1.1

Différenciez $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Étape 12.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 12.3.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 12.3.1.2.2

La dérivée de $\sec (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 12.3.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 12.3.1.3

Différenciez.

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Étape 12.3.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 12.3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Étape 12.3.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 12.3.1.3.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Étape 12.3.1.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Étape 12.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$g (x) = \int u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 12.4

Associez $u_{2}$ et $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \int \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

Étape 12.5

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = \frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Étape 12.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Étape 12.7

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$g (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 12.8

Simplifiez

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Étape 12.8.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 12.8.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$g (x) = \frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Étape 12.9

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (3 x)$ .

$g (x) = \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

Étape 13

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

Étape 14

Associez $\frac{1}{6}$ et $\sec^{2} (3 x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$