Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{x (y - 1)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{y - 1}{y (y - 2)}$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} (\frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{y (y - 2)}{y - 1}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $y - 1$ à partir de $(y - 1) x$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) (x)}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $y (y - 2)$ .

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Étape 1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

Étape 1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = y (y - 2)$ . Alors $d u = (2 y - 2) d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = (y - 1) d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = y (y - 2)$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y (y - 2)$ .

$\frac{d}{d y} [y (y - 2)]$

Étape 2.2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = y - 2$ .

$y \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$y (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$y (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$y \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3.4.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y + (y - 2) \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.3.6

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1.1.3.6.1

Multipliez $y - 2$ par $1$ .

$y + y - 2$

Étape 2.2.1.1.3.6.2

Additionnez $y$ et $y$ .

$2 y - 2$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y (y - 2)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) = \ln (| x |) + C$