Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x + x y^{2}}{2 + x^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x + x y^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x y^{2}}{2 + x^{2}}$

Étape 1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x (y^{2})}{2 + x^{2}}$

Étape 1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 4 + x (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (4 + y^{2})}{2 + x^{2}}$

Étape 1.1.4

Multipliez $x$ par $4 + y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{2 + x^{2}}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2})$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{4 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} (\frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2}))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $4 + y^{2}$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $4 + y^{2}$ à partir de $\frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2})$ .

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} ((4 + y^{2}) \frac{x}{2 + x^{2}})$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} ((4 + y^{2}) \frac{x}{2 + x^{2}})$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{4 + y^{2}} d y = \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{4 + y^{2}} d y = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{2^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{2^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez $\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1}$ comme $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 2 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 2 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $2 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{2}]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.1.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$ par $2$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.1.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2 + C \cdot 2$

Étape 3.1.3.1.2

Multipliez $\ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

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Étape 3.1.3.1.2.1

Remettez dans l’ordre $\ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ et $2$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = 2 \cdot \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C \cdot 2$

Étape 3.1.3.1.2.2

Simplifiez $2 \cdot \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) + C \cdot 2$

Étape 3.1.3.1.3

Multipliez les exposants dans ${({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.1.3.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + C \cdot 2$

Étape 3.1.3.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + C \cdot 2$

Étape 3.1.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{1}) + C \cdot 2$

Étape 3.1.3.1.4

Simplifiez

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln (| 2 + x^{2} |) + C \cdot 2$

Étape 3.1.3.1.5

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C$

Étape 3.2

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$\frac{y}{2} = \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Étape 3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Étape 3.4.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + C)$