Calcul infinitésimal Exemples

$d x - e^{3 x} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $d x$ des deux côtés de l’équation.

$- e^{3 x} d y = - d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{3 x}}$ .

$\frac{1}{e^{3 x}} (- e^{3 x}) d y = \frac{1}{e^{3 x}} \cdot - 1 d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{e^{3 x}} e^{3 x} d y = \frac{1}{e^{3 x}} \cdot - 1 d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $e^{3 x}$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{e^{3 x}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{e^{3 x}} e^{3 x} d y = \frac{1}{e^{3 x}} \cdot - 1 d x$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{e^{3 x}} e^{3 x} d y = \frac{1}{e^{3 x}} \cdot - 1 d x$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 d y = \frac{1}{e^{3 x}} \cdot - 1 d x$

Étape 3.3

Associez $\frac{1}{e^{3 x}}$ et $- 1$ .

$- 1 d y = \frac{- 1}{e^{3 x}} d x$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 1 d y = - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - 1 d y = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Étape 4.2

Appliquez la règle de la constante.

$- y + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- y + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Étape 4.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1

Inversez l’exposant de $e^{3 x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$- y + C_{1} = - \int 1 {(e^{3 x})}^{- 1} d x$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{3 x})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- y + C_{1} = - \int 1 e^{3 x \cdot - 1} d x$

Étape 4.3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- y + C_{1} = - \int 1 e^{- 3 x} d x$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $e^{- 3 x}$ par $1$ .

$- y + C_{1} = - \int e^{- 3 x} d x$

Étape 4.3.3

Laissez $u = - 3 x$ . Alors $d u = - 3 d x$ , donc $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.3.1

Laissez $u = - 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.3.1.1

Différenciez $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 4.3.3.1.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Étape 4.3.3.1.4

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- y + C_{1} = - \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Étape 4.3.4

Simplifiez

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Étape 4.3.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- y + C_{1} = - \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Étape 4.3.4.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- y + C_{1} = - \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 4.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- y + C_{1} = - - \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 4.3.6

Simplifiez

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Étape 4.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- y + C_{1} = 1 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 4.3.6.2

Multipliez $\int \frac{e^{u}}{3} d u$ par $1$ .

$- y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Étape 4.3.7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u$

Étape 4.3.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2})$

Étape 4.3.9

Simplifiez

$- y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} + C_{2}$

Étape 4.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 3 x$ .

$- y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- y = \frac{1}{3} e^{- 3 x} + K$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- y = \frac{1}{3} e^{- 3 x} + K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- y = \frac{1}{3} e^{- 3 x} + K$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\frac{1}{3} e^{- 3 x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\frac{1}{3} e^{- 3 x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 5.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{3} e^{- 3 x}}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{1}{3} e^{- 3 x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\frac{1}{3} e^{- 3 x}) + \frac{K}{- 1}$

Étape 5.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\frac{1}{3} e^{- 3 x})$ comme $- (\frac{1}{3} e^{- 3 x})$ .

$y = - (\frac{1}{3} e^{- 3 x}) + \frac{K}{- 1}$

Étape 5.3.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $e^{- 3 x}$ .

$y = - \frac{e^{- 3 x}}{3} + \frac{K}{- 1}$

Étape 5.3.1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{K}{- 1}$ .

$y = - \frac{e^{- 3 x}}{3} - 1 \cdot K$

Étape 5.3.1.5

Réécrivez $- 1 \cdot K$ comme $- K$ .

$y = - \frac{e^{- 3 x}}{3} - K$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{e^{- 3 x}}{3} + K$