Calcul infinitésimal Exemples

$(y + \sin (x)) d y + (y \cos (x) - 2 x) d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$(y \cos (x) - 2 x) d x + (y + \sin (x)) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y \cos (x) - 2 x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x) - 2 x]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y \cos (x) - 2 x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $\cos (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y \cos (x)$ par rapport à $y$ est $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.3.3

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $\cos (x)$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x)$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y + \sin (x)$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + \sin (x)]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.2.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \cos (x)$

Étape 3.4

Additionnez $0$ et $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\cos (x)$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \cos (x)$

Étape 4.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\cos (x) = \cos (x)$ est une identité.

Étape 5

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y + \sin (x) d y$

Étape 6

Intégrez $N (x, y) = y + \sin (x)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 6.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int y d y + \int \sin (x) d y$

Étape 6.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int \sin (x) d y$

Étape 6.3

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \sin (x) y + C$

Étape 6.4

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + C$

Étape 7

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$

Étape 8

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \cos (x) - 2 x$

Étape 9

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 9.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Étape 9.2

Différenciez.

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Étape 9.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Étape 9.2.2

Comme $\frac{1}{2} y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Étape 9.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

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Étape 9.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\sin (x) y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Étape 9.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$0 + y \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Étape 9.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x$

Étape 9.5

Simplifiez

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Étape 9.5.1

Additionnez $0$ et $y \cos (x)$ .

$y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x$

Étape 9.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) = y \cos (x) - 2 x$

Étape 10

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 10.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1.1

Soustrayez $y \cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x - y \cos (x)$

Étape 10.1.2

Associez les termes opposés dans $y \cos (x) - 2 x - y \cos (x)$ .

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Étape 10.1.2.1

Soustrayez $y \cos (x)$ de $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x + 0$

Étape 10.1.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x$

Étape 11

Déterminez la primitive de $- 2 x$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 11.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 2 x d x$

Étape 11.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 2 x d x$

Étape 11.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - 2 \int x d x$

Étape 11.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 11.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.5.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Étape 11.5.2

Simplifiez

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Étape 11.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Étape 11.5.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 11.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Étape 11.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Étape 11.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Étape 11.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (x) = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Étape 11.5.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$g (x) = - x^{2} + C$

Étape 12

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$

Étape 13

Simplifiez $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$ .

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$

Étape 13.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + y \sin (x) - x^{2} + C$