Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 y - 2}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $2 y - 2$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 y - 2}$

Étape 1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y) - 2}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y) + 2 (- 1)}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (y) + 2 (- 1)$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y - 1)}$

Étape 1.2.2

Multipliez $2 y - 2$ par $\frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y - 1)}$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 y - 2) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{2 (y - 1)}$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun à $2 y - 2$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $(2 y - 2) (3 x^{2} + 4 x + 2)$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2))}{2 (y - 1)}$

Étape 1.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2))}{2 (y - 1)}$

Étape 1.2.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{y - 1}$

Étape 1.2.4

Annulez le facteur commun de $y - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{y - 1}$

Étape 1.2.4.2

Divisez $3 x^{2} + 4 x + 2$ par $1$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 4 x + 2$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(2 y - 2) d y = (3 x^{2} + 4 x + 2) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 2 y - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 y d y + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int y d y + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Étape 2.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Étape 2.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Étape 2.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 \int x d x + \int 2 d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int 2 d x$

Étape 2.3.6

Appliquez la règle de la constante.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.7.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Étape 2.3.7.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

$y^{2} - 2 y + C_{3} = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + C_{7}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y^{2} - 2 y = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Soustrayez $x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 2 y - x^{3} = 2 x^{2} + 2 x + K$

Étape 3.1.2

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} = 2 x + K$

Étape 3.1.3

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x = K$

Étape 3.1.4

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K = 0$

Étape 3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{3}) - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.4.3

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.4.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5.3

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5.4

Factorisez $4$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5.5

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot 1 + 4 (x^{3})$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5.6

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot (1 + x^{3}) + 4 (2 x^{2})$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5.7

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2}) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5.8

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) + 4 K$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.6

Réécrivez $4 (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)$ comme $2^{2} (1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.6.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

Étape 3.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$