Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x \sqrt{1 - 9 y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} (\frac{2}{3} x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Étape 1.2.2

Associez.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{3 \sqrt{1 - 9 y^{2}}} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ à partir de $3 \sqrt{1 - 9 y^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (x \sqrt{1 - 9 y^{2}})$

Étape 1.2.3.2

Factorisez $\sqrt{1 - 9 y^{2}}$ à partir de $x \sqrt{1 - 9 y^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (\sqrt{1 - 9 y^{2}} x)$

Étape 1.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}} \cdot 3} (\sqrt{1 - 9 y^{2}} x)$

Étape 1.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot 1}{3} x$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3} x$

Étape 1.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} d y = \frac{2 x}{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 9 y^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 y^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $9 y^{2}$ comme ${(3 y)}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 y)}^{2}}} d y = \int \frac{2 x}{3} d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u = 3 y$ . Alors $d u = 3 d y$ , donc $\frac{1}{3} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = 3 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Étape 2.2.2.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u = \int \frac{2 x}{3} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{2 x}{3} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ par rapport à $u$ est $\arcsin (u)$

$\frac{1}{3} (\arcsin (u) + C_{1}) = \int \frac{2 x}{3} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{3} \arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 y$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \int \frac{2 x}{3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $\frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 2.3.3.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$ par $3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{3} \arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} + K$ par $3$ .

$\frac{1}{3} \arcsin (3 y) \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\arcsin (3 y)$ .

$\frac{\arcsin (3 y)}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Étape 3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\arcsin (3 y)}{3} \cdot 3 = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Étape 3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\arcsin (3 y) = \frac{1}{3} x^{2} \cdot 3 + K \cdot 3$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{2}$ .

$\arcsin (3 y) = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3 + K \cdot 3$

Étape 3.1.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.1.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\arcsin (3 y) = \frac{x^{2}}{3} \cdot 3 + K \cdot 3$

Étape 3.1.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\arcsin (3 y) = x^{2} + K \cdot 3$

Étape 3.1.3.1.3

Déplacez $3$ à gauche de $K$ .

$\arcsin (3 y) = x^{2} + 3 K$

Étape 3.2

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $3 y = \sin (x^{2} + 3 K)$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\sin (x^{2} + 3 K)}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sin (x^{2} + K)}{3}$