Calcul infinitésimal Exemples

$(4 + e^{2 y}) d x = x e^{2 y} d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$x e^{2 y} d y = (4 + e^{2 y}) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x (4 + e^{2 y})}$ .

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x e^{2 y}$ .

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x (e^{2 y})) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4 + e^{2 y}} e^{2 y} d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{4 + e^{2 y}}$ et $e^{2 y}$ .

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $4 + e^{2 y}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $4 + e^{2 y}$ à partir de $x (4 + e^{2 y})$ .

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 y}) x} (4 + e^{2 y}) d x$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 y}) x} (4 + e^{2 y}) d x$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u_{2} = 4 + e^{2 y}$ . Alors $d u_{2} = 2 e^{2 y} d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 y} d y$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u_{2} = 4 + e^{2 y}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $4 + e^{2 y}$ .

$\frac{d}{d y} [4 + e^{2 y}]$

Étape 4.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 4.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + e^{2 y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Étape 4.2.1.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Étape 4.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

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Étape 4.2.1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = 2 y$ .

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Étape 4.2.1.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 y$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 4.2.1.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 4.2.1.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 y$ .

$0 + e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 4.2.1.1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])$

Étape 4.2.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + e^{2 y} (2 \cdot 1)$

Étape 4.2.1.1.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + e^{2 y} \cdot 2$

Étape 4.2.1.1.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 y}$ .

$0 + 2 e^{2 y}$

Étape 4.2.1.1.4

Additionnez $0$ et $2 e^{2 y}$ .

$2 e^{2 y}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 + e^{2 y}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) = \ln (| x |) + C$