Calcul infinitésimal Exemples

$(3 x - 1) \frac{d y}{d x} = 6 y - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $6 y$ des deux côtés de l’équation.

$(3 x - 1) \frac{d y}{d x} - 6 y = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $(3 x - 1) \frac{d y}{d x} - 6 y = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ par $3 x - 1$ .

$\frac{(3 x - 1) \frac{d y}{d x}}{3 x - 1} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $3 x - 1$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 x - 1) \frac{d y}{d x}}{3 x - 1} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

Étape 1.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}}{3 x - 1}$

Étape 1.4

Factorisez $3 x - 1$ à partir de $- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{3 x - 1}$

Étape 1.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{(3 x - 1) \cdot 1}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{(3 x - 1) (- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})}{(3 x - 1) \cdot 1}$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = \frac{- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}}{1}$

Étape 1.5.4

Divisez $- 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{\frac{- 2}{3}}$

Étape 1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6 y}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 1.7

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- 6 y}{3 x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 6}{3 x - 1} = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 1.8

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 6}{3 x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 6}{3 x - 1} y = - 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 6}{3 x - 1}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 6}{3 x - 1} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 6}{3 x - 1}$ .

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Étape 2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{\int - \frac{6}{3 x - 1} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{6}{3 x - 1} d x}$

Étape 2.2.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (6 \int \frac{1}{3 x - 1} d x)}$

Étape 2.2.4

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{3 x - 1} d x}$

Étape 2.2.5

Laissez $u = 3 x - 1$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.5.1

Laissez $u = 3 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.5.1.1

Différenciez $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 2.2.5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.2.5.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.5.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.5.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.2.5.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.2.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{u \cdot 3} d u}$

Étape 2.2.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$e^{- 6 \int \frac{1}{3 u} d u}$

Étape 2.2.7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 6 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u)}$

Étape 2.2.8

Simplifiez

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Étape 2.2.8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 6$ .

$e^{\frac{- 6}{3} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 2.2.8.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

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Étape 2.2.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 2.2.8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.8.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 2.2.8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 2.2.8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 2.2.8.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 2.2.9

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Étape 2.2.10

Simplifiez

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Étape 2.2.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 1$ .

$e^{- 2 \ln (| 3 x - 1 |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 2 \ln (3 x - 1)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln ({(3 x - 1)}^{- 2})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(3 x - 1)}^{- 2}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{- 6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{- 6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} + \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- \frac{6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (\frac{6}{3 x - 1} y) = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{6}{3 x - 1}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 y}{3 x - 1} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} \cdot \frac{6 y}{3 x - 1}$ .

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{6 y}{3 x - 1}$ par $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{(3 x - 1) {(3 x - 1)}^{2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $3 x - 1$ par ${(3 x - 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.5.2.1

Multipliez $3 x - 1$ par ${(3 x - 1)}^{2}$ .

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Étape 3.2.5.2.1.1

Élevez $3 x - 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{1} {(3 x - 1)}^{2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Étape 3.2.5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{1 + 2}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Étape 3.2.5.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} (- 10 {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = - 10 \frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 3.4

Associez $- 10$ et $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de ${(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez ${(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ à partir de ${(3 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 3.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} {(3 x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$

Étape 3.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = \frac{- 10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{6 y}{{(3 x - 1)}^{3}} = - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y] = - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y] d x = \int - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \int - \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \int \frac{10}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Étape 7.2

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , placez $10$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - (10 \int \frac{1}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x)$

Étape 7.3

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{{(3 x - 1)}^{\frac{8}{3}}} d x$

Étape 7.4

Laissez $u = 3 x - 1$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.4.1

Laissez $u = 3 x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.4.1.1

Différenciez $3 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Étape 7.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 7.4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 7.4.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 7.4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 7.4.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 7.4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 7.4.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 7.4.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 7.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Multipliez $\frac{1}{u^{\frac{8}{3}}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}} \cdot 3} d u$

Étape 7.5.2

Déplacez $3$ à gauche de $u^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 \int \frac{1}{3 u^{\frac{8}{3}}} d u$

Étape 7.6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - 10 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u)$

Étape 7.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 7.7.1

Simplifiez

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Étape 7.7.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 10$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{- 10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u$

Étape 7.7.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{8}{3}}} d u$

Étape 7.7.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.7.2.1

Retirez $u^{\frac{8}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int {(u^{\frac{8}{3}})}^{- 1} d u$

Étape 7.7.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 7.7.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{8}{3} \cdot - 1} d u$

Étape 7.7.2.2.2

Multipliez $\frac{8}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 7.7.2.2.2.1

Associez $\frac{8}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{8 \cdot - 1}{3}} d u$

Étape 7.7.2.2.2.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{\frac{- 8}{3}} d u$

Étape 7.7.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} \int u^{- \frac{8}{3}} d u$

Étape 7.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{8}{3}}$ par rapport à $u$ est $- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}} + C)$

Étape 7.9

Simplifiez

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Étape 7.9.1

Réécrivez $- \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} u^{- \frac{5}{3}} + C)$ comme $- \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}) + C$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}) + C$

Étape 7.9.2

Simplifiez

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Étape 7.9.2.1

Multipliez $\frac{1}{u^{\frac{5}{3}}}$ par $\frac{3}{5}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{u^{\frac{5}{3}} \cdot 5}) + C$

Étape 7.9.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $u^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = - \frac{10}{3} (- \frac{3}{5 \cdot u^{\frac{5}{3}}}) + C$

Étape 7.9.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = 1 (\frac{10}{3}) \frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Étape 7.9.2.4

Multipliez $\frac{10}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Étape 7.9.2.5

Multipliez $\frac{10}{3}$ par $\frac{3}{5 u^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{10 \cdot 3}{3 (5 u^{\frac{5}{3}})} + C$

Étape 7.9.2.6

Multipliez $10$ par $3$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{30}{3 (5 u^{\frac{5}{3}})} + C$

Étape 7.9.2.7

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{30}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Étape 7.9.2.8

Factorisez $15$ à partir de $30$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Étape 7.9.2.9

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.9.2.9.1

Factorisez $15$ à partir de $15 u^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 (u^{\frac{5}{3}})} + C$

Étape 7.9.2.9.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{15 \cdot 2}{15 u^{\frac{5}{3}}} + C$

Étape 7.9.2.9.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{2}{u^{\frac{5}{3}}} + C$

Étape 7.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 1$ .

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1.1

Soustrayez $\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} = C$

Étape 8.1.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}} y - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} - C = 0$

Étape 8.1.3

Associez $\frac{1}{{(3 x - 1)}^{2}}$ et $y$ .

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} - \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} - C = 0$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.2.1

Ajoutez $\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} - C = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Étape 8.2.2

Ajoutez $C$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par ${(3 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{2} = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de ${(3 x - 1)}^{2}$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{{(3 x - 1)}^{2}} {(3 x - 1)}^{2} = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(\frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} + C) {(3 x - 1)}^{2}$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} {(3 x - 1)}^{2} + C {(3 x - 1)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de ${(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}$ .

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Étape 8.4.2.1.2.1

Factorisez ${(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}$ à partir de ${(3 x - 1)}^{2}$ .

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} ({(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + C {(3 x - 1)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2}{{(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}}} ({(3 x - 1)}^{\frac{5}{3}} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + C {(3 x - 1)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + C {(3 x - 1)}^{2}$

Étape 8.4.2.1.3

Remettez dans l’ordre $2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ et $C {(3 x - 1)}^{2}$ .

$y = C {(3 x - 1)}^{2} + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.5.1

Réécrivez ${(3 x - 1)}^{2}$ comme $(3 x - 1) (3 x - 1)$ .

$y = C ((3 x - 1) (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8.5.2

Développez $(3 x - 1) (3 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = C (3 x (3 x - 1) - 1 (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = C (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x - 1)) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = C (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 8.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = C (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8.5.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.5.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = C (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8.5.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = C (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8.5.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$y = C (9 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8.5.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8.5.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8.5.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = C (9 x^{2} - 3 x - 3 x + 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8.5.3.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$y = C (9 x^{2} - 6 x + 1) + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$y = C (9 x^{2}) + C (- 6 x) + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8.5.5

Simplifiez

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Étape 8.5.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = 9 C x^{2} + C (- 6 x) + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8.5.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = 9 C x^{2} - 6 C x + C \cdot 1 + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 8.5.5.3

Multipliez $C$ par $1$ .

$y = 9 C x^{2} - 6 C x + C + 2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$