Calcul infinitésimal Exemples

$y d x + (x - x y + 2) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x - x y + 2$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - x y + 2]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - x y + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $1 - y$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- y + 1$ .

$1 = - y + 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$1 = - y + 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- y + 1$ .

$\frac{- y + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $1$ .

$\frac{- y + 1 - 1}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $y$ .

$\frac{- y + 1 - 1}{y}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{- y + 0}{y}$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $- y$ et $0$ .

$\frac{- y}{y}$

Étape 4.3.3

Remplacez $M$ par $y$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- y}{y}$

Étape 4.3.3.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - 1 d y}$ .

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Étape 5.1

Appliquez la règle de la constante.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Étape 5.2

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $y d x + (x - x y + 2) d y = 0$ par le facteur d’intégration $e^{- y}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $y$ par $e^{- y}$ .

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $x - x y + 2$ par $e^{- y}$ .

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) e^{- y} d y = 0$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$y e^{- y} d x + (x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- y} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = y e^{- y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = y e^{- y} x + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x + g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y e^{- y} x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [y e^{- y} x]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y e^{- y} x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = y$ et $g (y) = e^{- y}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- y}] + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = - y$ .

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Étape 11.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- y$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- y$ .

$x (y (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x (y (e^{- y} \cdot - 1) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11.3.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- y}$ .

$x (y (- 1 \cdot e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11.3.9

Réécrivez $- 1 e^{- y}$ comme $- e^{- y}$ .

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11.3.10

Multipliez $e^{- y}$ par $1$ .

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (y (- e^{- y})) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 11.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x$ .

$\frac{d g}{d y} - x y e^{- y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Ajoutez $x y e^{- y}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y}$

Étape 12.1.2

Soustrayez $x e^{- y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$

Étape 12.1.3

Associez les termes opposés dans $x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$ .

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Étape 12.1.3.1

Additionnez $- x y e^{- y}$ et $x y e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} + 0 - x e^{- y}$

Étape 12.1.3.2

Additionnez $x e^{- y} + 2 e^{- y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} - x e^{- y}$

Étape 12.1.3.3

Soustrayez $x e^{- y}$ de $x e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y} + 0$

Étape 12.1.3.4

Additionnez $2 e^{- y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $2 e^{- y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 e^{- y} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 e^{- y} d y$

Étape 13.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 2 \int e^{- y} d y$

Étape 13.4

Laissez $u = - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 13.4.1

Laissez $u = - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 13.4.1.1

Différenciez $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Étape 13.4.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Étape 13.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 13.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 13.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (y) = 2 \int - e^{u} d u$

Étape 13.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 2 (- \int e^{u} d u)$

Étape 13.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$g (y) = - 2 \int e^{u} d u$

Étape 13.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$g (y) = - 2 (e^{u} + C)$

Étape 13.8

Simplifiez

$g (y) = - 2 e^{u} + C$

Étape 13.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- y$ .

$g (y) = - 2 e^{- y} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$

Étape 15

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{- y} - 2 e^{- y} + C$