Calcul infinitésimal Exemples

$z + u (\frac{d z}{d u}) = \frac{z}{1 - z}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d z}{d u}$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $z$ des deux côtés de l’équation.

$u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ par $u$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ par $u$ .

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d z}{d u}$ par $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z}{u}$

Étape 1.1.2.3.2

Pour écrire $- z$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 - z}{1 - z}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z \cdot \frac{1 - z}{1 - z}}{u}$

Étape 1.1.2.3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.2.3.3.1

Associez $- z$ et $\frac{1 - z}{1 - z}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} + \frac{- z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Étape 1.1.2.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Étape 1.1.2.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.3.4.1

Factorisez $z$ à partir de $z - z (1 - z)$ .

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Étape 1.1.2.3.4.1.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Étape 1.1.2.3.4.1.2

Factorisez $z$ à partir de $z^{1}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Étape 1.1.2.3.4.1.3

Factorisez $z$ à partir de $- z (1 - z)$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 + z (- (1 - z))}{1 - z}}{u}$

Étape 1.1.2.3.4.1.4

Factorisez $z$ à partir de $z \cdot 1 + z (- (1 - z))$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - (1 - z))}{1 - z}}{u}$

Étape 1.1.2.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 \cdot 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

Étape 1.1.2.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

Étape 1.1.2.3.4.4

Multipliez $- - z$ .

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Étape 1.1.2.3.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + 1 z)}{1 - z}}{u}$

Étape 1.1.2.3.4.4.2

Multipliez $z$ par $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + z)}{1 - z}}{u}$

Étape 1.1.2.3.4.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (0 + z)}{1 - z}}{u}$

Étape 1.1.2.3.4.6

Additionnez $0$ et $z$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot z}{1 - z}}{u}$

Étape 1.1.2.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.3.5.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z}{1 - z}}{u}$

Étape 1.1.2.3.5.2

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z^{1}}{1 - z}}{u}$

Étape 1.1.2.3.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1 + 1}}{1 - z}}{u}$

Étape 1.1.2.3.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{2}}{1 - z}}{u}$

Étape 1.1.2.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

Étape 1.1.2.3.7

Multipliez $\frac{z^{2}}{1 - z}$ par $\frac{1}{u}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Étape 1.1.2.3.8

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{z^{2}}{(1 - z) u}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{u (1 - z)}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1 - z}{z^{2}}$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} (\frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{z^{2}}{1 - z}$ par $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $1 - z$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $1 - z$ à partir de $(1 - z) u$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) (u)}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $z^{2}$ .

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Étape 1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

Étape 1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{u}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1 - z}{z^{2}} d z = \frac{1}{u} d u$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1 - z}{z^{2}} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $z^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (1 - z) {(z^{2})}^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(z^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - z) z^{2 \cdot - 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (1 - z) z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.2.2

Multipliez $(1 - z) z^{- 2}$ .

$\int 1 z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $z^{- 2}$ par $1$ .

$\int z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $z$ par $z^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.3.2.1

Déplacez $z^{- 2}$ .

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z) d z = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.2.3.2.2

Multipliez $z^{- 2}$ par $z$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z^{1}) d z = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.2.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int z^{- 2} - z^{- 2 + 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.2.3.2.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\int z^{- 2} - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.2.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int z^{- 2} d z + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $z^{- 2}$ par rapport à $z$ est $- z^{- 1}$ .

$- z^{- 1} + C_{1} + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $z$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- z^{- 1} + C_{1} - \int z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.2.7

L’intégrale de $z^{- 1}$ par rapport à $z$ est $\ln (| z |)$ .

$- z^{- 1} + C_{1} - (\ln (| z |) + C_{2}) = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.2.8

Simplifiez

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \ln (| u |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) = \ln (| u |) + C$