Calcul infinitésimal Exemples

$(3 x + 2) d y + (y + 2) d x = 0$

Étape 1

Soustrayez $(y + 2) d x$ des deux côtés de l’équation.

$(3 x + 2) d y = - (y + 2) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)}$ .

$\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $3 x + 2$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y + 2$ .

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Étape 3.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(3 x + 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Étape 3.3.2

Factorisez $y + 2$ à partir de $(3 x + 2) (y + 2)$ .

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (3 x + 2)} (y + 2) d x$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (3 x + 2)} (y + 2) d x$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{3 x + 2} d x$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u_{1} = y + 2$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u_{1} = y + 2$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Étape 4.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 2$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 4.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Étape 4.2.1.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 x + 2} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u_{2} = 3 x + 2$ . Alors $d u_{2} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u_{2} = 3 x + 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Étape 4.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 4.3.2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.3.2.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 4.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.2.1.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 4.3.2.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 4.3.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 3} d u_{2}$

Étape 4.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 4.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 4.3.6

Simplifiez

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 4.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y + 2 |) = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.1

Associez $\ln (| 3 x + 2 |)$ et $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y + 2 |) = - \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + C$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y + 2 |) + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Étape 5.3

Pour écrire $\ln (| y + 2 |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| y + 2 |) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Étape 5.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.4.1

Associez $\ln (| y + 2 |)$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (| y + 2 |) \cdot 3}{3} + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Étape 5.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\ln (| y + 2 |) \cdot 3 + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Étape 5.5

Déplacez $3$ à gauche de $\ln (| y + 2 |)$ .

$\frac{3 \ln (| y + 2 |) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Étape 5.6

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $\frac{3 \ln (| y + 2 |) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3}$ .

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Étape 5.6.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.6.1.1.1

Simplifiez $3 \ln (| y + 2 |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3}) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Étape 5.6.1.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}{3} = C$

Étape 5.6.1.2

Réécrivez $\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}{3}$ comme $\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)$ .

$\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |) = C$

Étape 5.6.1.3

Simplifiez $\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$\ln ({({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}^{\frac{1}{3}}) = C$

Étape 5.6.1.4

Appliquez la règle de produit à ${| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |$ .

$\ln ({({| y + 2 |}^{3})}^{\frac{1}{3}} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Étape 5.6.1.5

Multipliez les exposants dans ${({| y + 2 |}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.6.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({| y + 2 |}^{3 (\frac{1}{3})} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Étape 5.6.1.5.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.6.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln ({| y + 2 |}^{3 (\frac{1}{3})} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Étape 5.6.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln ({| y + 2 |}^{1} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Étape 5.6.1.6

Simplifiez

$\ln (| y + 2 | {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Étape 5.6.1.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| y + 2 | {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |) = C$

Étape 5.7

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |)} = e^{C}$

Étape 5.8

Réécrivez $\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |$

Étape 5.9

Résolvez $y$ .

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Étape 5.9.1

Réécrivez l’équation comme ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ .

${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$

Étape 5.9.2

Divisez chaque terme dans ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ par ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}$ et simplifiez.

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Étape 5.9.2.1

Divisez chaque terme dans ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ par ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.9.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.9.2.2.2

Divisez $| y + 2 |$ par $1$ .

$| y + 2 | = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.9.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y + 2 = \pm \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 5.9.4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \frac{C}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$

Étape 6.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C \frac{1}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$