Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + x y) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 1 + x y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + x y]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Étape 1.4

Additionnez $0$ et $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (1 + x^{2})$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (1 + x^{2})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x$ .

$x = - 2 x$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$x = - 2 x$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x$ .

$\frac{x - (- 2 x)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $- (1 + x^{2})$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $- (1 + x^{2})$ .

$\frac{x - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x - (- 2 x)$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{1} - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $- (- 2 x)$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- (- 2))}{- (1 + x^{2})}$

Étape 4.3.2.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 1 + x (- (- 2))$ .

$\frac{x (1 - (- 2))}{- (1 + x^{2})}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{x (1 + 2)}{- (1 + x^{2})}$

Étape 4.3.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x \cdot 3}{- (1 + x^{2})}$

Étape 4.3.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{- (1 + x^{2})}$

Étape 4.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 x}{1 + x^{2}}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$

Étape 5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)}$

Étape 5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x}$

Étape 5.4

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.4.1

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.4.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 5.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.4.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 5.4.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 5.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Étape 5.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Étape 5.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Étape 5.7

Simplifiez

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Étape 5.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Étape 5.9

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| u |)} + C$

Étape 5.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)} + C$

Étape 5.11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.11.1

Multipliez $- \frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

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Étape 5.11.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| 1 + x^{2} |)$ et $\frac{3}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |))} + C$

Étape 5.11.1.2

Simplifiez $\frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ en déplaçant $\frac{3}{2}$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})} + C$

Étape 5.11.2

Simplifiez $- \ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

Étape 5.11.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

Étape 5.11.4

Multipliez les exposants dans ${({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.11.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

Étape 5.11.4.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 5.11.4.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

Étape 5.11.4.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

Étape 5.11.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{- \frac{3}{2}} + C$

Étape 5.11.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(1 + x y) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $1 + x y$ par $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$(1 + x y) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $1 + x y$ par $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $- (1 + x^{2})$ par $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + (- 1 \cdot 1 - x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + (- 1 - x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $- 1 - x^{2}$ par $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Étape 6.7

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Étape 6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - (x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Étape 6.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (x^{2})$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Étape 6.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} y + C$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $y$ et $\frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 8.2.2

Placez ${(1 + x^{2})}^{1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{2})}^{- 1}} + C$

Étape 8.2.3

Multipliez ${(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ par ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1}} + C$

Étape 8.2.3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} + C$

Étape 8.2.3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Étape 8.2.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Étape 8.2.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}}} + C$

Étape 8.2.3.5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 11.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- y (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Étape 11.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + x^{2}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.8

Multipliez les exposants dans ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.8.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.3.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.14

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.15

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.16

Associez $2$ et $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.17

Associez $\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.18

Placez ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.19

Annulez le facteur commun.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.20

Réécrivez l’expression.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.21

Associez $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$- y (- \frac{x {(1 + x^{2})}^{- 1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.22

Placez ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.23

Multipliez ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1 + x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.3.23.1

Multipliez ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1 + x^{2}$ .

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Étape 11.3.23.1.1

Élevez $1 + x^{2}$ à la puissance $1$ .

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.23.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.23.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.23.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.23.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.24

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.25

Multipliez $y$ par $1$ .

$y \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.3.26

Associez $y$ et $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Soustrayez $\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - (1 + x y)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - 1 \cdot 1 - (x y)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 12.1.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - 1 - x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Associez les termes opposés dans $y x - 1 - x y$ .

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Étape 12.1.1.4.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $y x$ et $- x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x y - 1 - x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 12.1.1.4.2

Soustrayez $x y$ de $x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 12.1.1.4.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 12.1.2

Ajoutez $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Étape 13.3

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}}} d x$

Étape 13.4

Laissez $x = \tan (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ est positif.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 13.5

Simplifiez $\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}$ .

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Étape 13.5.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 13.5.2

Multipliez les exposants dans ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

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Étape 13.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 13.5.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 13.5.3

Réécrivez $\sec^{6} (t)$ comme ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Étape 13.5.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 13.6

Annulez le facteur commun de $\sec^{2} (t)$ .

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Étape 13.6.1

Factorisez $\sec^{2} (t)$ à partir de $\sec^{3} (t)$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 13.6.2

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Étape 13.6.3

Réécrivez l’expression.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Étape 13.7

Simplifiez

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Étape 13.7.1

Réécrivez $\sec (t)$ en termes de sinus et de cosinus.

$g (x) = \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Étape 13.7.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$g (x) = \int 1 \cos (t) d t$

Étape 13.7.3

Multipliez $\cos (t)$ par $1$ .

$g (x) = \int \cos (t) d t$

Étape 13.8

L’intégrale de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $\sin (t)$ .

$g (x) = \sin (t) + C$

Étape 13.9

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arctan (x)$ .

$g (x) = \sin (\arctan (x)) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \sin (\arctan (x)) + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \sin (\arctan (x)) + C$ .

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, x)$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (x)$ est l’angle entre l’abscisse positive et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, x)$ . Ainsi, $\sin (\arctan (x))$ est $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Étape 15.1.2

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Étape 15.1.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.1.3.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Étape 15.1.3.2

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Étape 15.1.3.3

Élevez $\sqrt{1 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + C$

Étape 15.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + C$

Étape 15.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + C$

Étape 15.1.3.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ comme $1 + x^{2}$ .

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Étape 15.1.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

Étape 15.1.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

Étape 15.1.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Étape 15.1.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Étape 15.1.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + C$

Étape 15.1.3.6.5

Simplifiez

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + C$

Étape 15.2

Pour écrire $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + C$

Étape 15.3

Pour écrire $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 15.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 15.4.1

Multipliez $\frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 15.4.2

Multipliez ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1 + x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.4.2.1

Multipliez ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1 + x^{2}$ .

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Étape 15.4.2.1.1

Élevez $1 + x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 15.4.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 15.4.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 15.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 15.4.2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 15.4.3

Multipliez $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ par $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 15.4.4

Multipliez $1 + x^{2}$ par ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.4.4.1

Multipliez $1 + x^{2}$ par ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 15.4.4.1.1

Élevez $1 + x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Étape 15.4.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}} + C$

Étape 15.4.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + C$

Étape 15.4.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}} + C$

Étape 15.4.4.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{- y (1 + x^{2}) + x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{- y (1 + x^{2}) + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = \frac{- y \cdot 1 - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.6.4

Multipliez ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.6.4.1

Déplacez ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.6.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.6.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.6.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.6.4.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.6.5

Simplifiez $x {(1 + x^{2})}^{1}$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.6.6

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x \cdot 1 + x \cdot x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.6.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x \cdot x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.6.8

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.6.8.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 15.6.8.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{1} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.6.8.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{1 + 2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.6.8.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.6.9

Réécrivez $- y - y x^{2} + x + x^{3}$ en forme factorisée.

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Étape 15.6.9.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 15.6.9.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$f (x, y) = \frac{(- y - y x^{2}) + x + x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.6.9.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$f (x, y) = \frac{y \cdot (- 1 - x^{2}) - x (- 1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Étape 15.6.9.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 1 - x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(- 1 - x^{2}) (y - x)}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$