Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + y \cot (x) = 5 e^{\cos (x)}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\cot (x)) = 5 e^{\cos (x)}$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \cot (x) y = 5 e^{\cos (x)}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \cot (x)$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \cot (x) d x}$

Étape 2.2

L’intégrale de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Étape 2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\sin (x)$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\sin (x)$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

Étape 3.2

Réécrivez en termes de sinus et de cosinus, puis annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\sin (x) (\cot (x) y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

Étape 3.2.3

Annulez les facteurs communs.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) (5 e^{\cos (x)})$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = 5 \sin (x) e^{\cos (x)}$

Étape 3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = 5 \sin (x) e^{\cos (x)}$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = 5 e^{\cos (x)} \sin (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 5 e^{\cos (x)} \sin (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int 5 e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\sin (x) y = \int 5 e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (x) y = 5 \int e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Étape 7.2

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.2.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 7.2.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 7.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\sin (x) y = 5 \int - e^{u} d u$

Étape 7.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (x) y = 5 (- \int e^{u} d u)$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\sin (x) y = - 5 \int e^{u} d u$

Étape 7.5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\sin (x) y = - 5 (e^{u} + C)$

Étape 7.6

Simplifiez

$\sin (x) y = - 5 e^{u} + C$

Étape 7.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\sin (x) y = - 5 e^{\cos (x)} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $\sin (x) y = - 5 e^{\cos (x)} + C$ par $\sin (x)$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $\sin (x) y = - 5 e^{\cos (x)} + C$ par $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- 5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- 5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Étape 8.3.1.2

Séparez les fractions.

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 8.3.1.3

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \csc (x)$

Étape 8.3.1.4

Divisez $C$ par $1$ .

$y = - \frac{5 e^{\cos (x)}}{\sin (x)} + C \csc (x)$