Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} + 2)}^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = {(e^{x} + 2)}^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int {(e^{x} + 2)}^{2} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int {(e^{x} + 2)}^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Simplifiez

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez ${(e^{x} + 2)}^{2}$ comme $(e^{x} + 2) (e^{x} + 2)$ .

$y + C_{1} = \int (e^{x} + 2) (e^{x} + 2) d x$

Étape 2.3.1.2

Développez $(e^{x} + 2) (e^{x} + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} + 2) + 2 (e^{x} + 2) d x$

Étape 2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 2 + 2 (e^{x} + 2) d x$

Étape 2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} \cdot 2 + 2 e^{x} + 2 \cdot 2 d x$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.3.1.1

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} \cdot 2 + 2 e^{x} + 2 \cdot 2 d x$

Étape 2.3.1.3.1.1.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} \cdot 2 + 2 e^{x} + 2 \cdot 2 d x$

Étape 2.3.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 2 \cdot e^{x} + 2 e^{x} + 2 \cdot 2 d x$

Étape 2.3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 2 e^{x} + 2 e^{x} + 4 d x$

Étape 2.3.1.3.2

Additionnez $2 e^{x}$ et $2 e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + 4 e^{x} + 4 d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int 4 e^{x} d x + \int 4 d x$

Étape 2.3.3

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.3.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.3.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3.3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 4 e^{x} d x + \int 4 d x$

Étape 2.3.4

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 4 e^{x} d x + \int 4 d x$

Étape 2.3.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 4 e^{x} d x + \int 4 d x$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + \int 4 e^{x} d x + \int 4 d x$

Étape 2.3.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 4 \int e^{x} d x + \int 4 d x$

Étape 2.3.8

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 4 (e^{x} + C_{3}) + \int 4 d x$

Étape 2.3.9

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) + 4 (e^{x} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Étape 2.3.10

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + 4 e^{x} + 4 x + C_{5}$

Étape 2.3.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 4 e^{x} + 4 x + C_{5}$

Étape 2.3.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + 4 x + 4 e^{x} + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} + 4 x + 4 e^{x} + K$