Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{2} (\ln (y)) d x + \frac{x^{2}}{y} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $3 x^{2} (\ln (y)) d x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{x^{2}}{y} d y = - 3 x^{2} \ln (y) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{x^{2} \ln (y)} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Étape 3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{1}{\ln (y) y}$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Étape 3.5

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $x^{2} \ln (y)$ .

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y \ln (y)} d y = \int - 3 d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Laissez $u = \ln (y)$ . Alors $d u = \frac{1}{y} d y$ , donc $y d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.2.1.1

Laissez $u = \ln (y)$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Différenciez $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Étape 4.2.1.1.2

La dérivée de $\ln (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - 3 d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - 3 d x$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (y)$ .

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = \int - 3 d x$

Étape 4.3

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - 3 x + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| \ln (y) |)} = e^{- 3 x + C}$

Étape 5.2

Réécrivez $\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 x + C} = | \ln (y) |$

Étape 5.3

Résolvez $y$ .

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Étape 5.3.1

Réécrivez l’équation comme $| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$ .

$| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$

Étape 5.3.2

Résolvez $y$ .

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Étape 5.3.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$

Étape 5.3.2.2

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y)} = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

Étape 5.3.2.3

Réécrivez $\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\pm e^{- 3 x + C}} = y$

Étape 5.3.2.4

Réécrivez l’équation comme $y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$ .

$y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Réécrivez $e^{- 3 x + C}$ comme $e^{- 3 x} e^{C}$ .

$y = e^{\pm e^{- 3 x} e^{C}}$

Étape 6.2

Remettez dans l’ordre $e^{- 3 x}$ et $e^{C}$ .

$y = e^{\pm e^{C} e^{- 3 x}}$

Étape 6.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = e^{C e^{- 3 x}}$