Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{a x + b}{c x + d}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = c x + d$ . Alors $d u = c d x$ , donc $\frac{1}{c} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = c x + d$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $c x + d$ .

$\frac{d}{d x} [c x + d]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $c x + d$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Étape 2.3.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [c x]$ .

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Étape 2.3.1.1.3.1

Comme $c$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $c x$ par rapport à $x$ est $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Multipliez $c$ par $1$ .

$c + \frac{d}{d x} [d]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1.1.4.1

Comme $d$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $d$ par rapport à $x$ est $0$ .

$c + 0$

Étape 2.3.1.1.4.2

Additionnez $c$ et $0$ .

$c$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} \cdot \frac{1}{c} d u$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u}$ par $\frac{1}{c}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u c} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{c}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{c}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} d u$

Étape 2.3.4

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} + \frac{b}{u} d u$

Étape 2.3.5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.6

Comme $a$ est constant par rapport à $u$ , placez $a$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Multipliez $\frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u}$ par $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c}{c} \cdot \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.7.2

Associez.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.7.4

Annulez le facteur commun de $c$ .

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Étape 2.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.7.5

Associez $c$ et $\frac{d}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.7.6

Annulez le facteur commun de $c$ .

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Étape 2.3.7.6.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.7.6.2

Divisez $d$ par $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - d}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.8

Comme $\frac{1}{c}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{c}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u - d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.9

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u}{u} + \frac{- d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.10

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.11

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 2.3.11.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.11.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.12

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int - \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.14

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - \int \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.15

Comme $d$ est constant par rapport à $u$ , placez $d$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d \int \frac{1}{u} d u))) + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.16

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d (\ln (| u |) + C_{3})))) + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.17

Associez $\frac{1}{c}$ et $a$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{b}{u} d u)$

Étape 2.3.18

Comme $b$ est constant par rapport à $u$ , placez $b$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 2.3.19

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b (\ln (| u |) + C_{4}))$

Étape 2.3.20

Simplifiez

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Étape 2.3.20.1

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + b \ln (| u |)) + C_{5}$

Étape 2.3.20.2

Simplifiez

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Étape 2.3.20.2.1

Pour écrire $b \ln (| u |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + \frac{b \ln (| u |) c}{c}) + C_{5}$

Étape 2.3.20.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \cdot \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c} + C_{5}$

Étape 2.3.20.2.3

Multipliez $\frac{1}{c}$ par $\frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c \cdot c} + C_{5}$

Étape 2.3.20.2.4

Élevez $c$ à la puissance $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c} + C_{5}$

Étape 2.3.20.2.5

Élevez $c$ à la puissance $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c^{1}} + C_{5}$

Étape 2.3.20.2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1 + 1}} + C_{5}$

Étape 2.3.20.2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{2}} + C_{5}$

Étape 2.3.21

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $c x + d$ .

$y + C_{1} = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C$