Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$ par $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{2 x^{2} + y^{2}}{3 x^{2} + 2 x y}$ par $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(2 x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 2 \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 2 \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.5

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{(3 x^{2} + 2 x y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 x^{2} \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.7.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x^{2} \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x^{2} \cdot 3 \frac{1}{x^{2}} + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + 2 x y \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.8.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 1.8.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Étape 1.8.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x}}$

Étape 1.8.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + 2 y \frac{1}{x}}$

Étape 1.9

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + y \frac{2}{x}}$

Étape 1.10

Associez $y$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + \frac{y \cdot 2}{x}}$

Étape 1.11

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{3 + \frac{2 y}{x}}$

Étape 1.12

Utilisez la règle de la puissance d’un quotient $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + \frac{2 y}{x}}$

Étape 1.13

Factorisez $\frac{y}{x}$ dans $\frac{2 y}{x}$ .

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Étape 1.13.1

Factorisez $\frac{y}{x}$ à partir de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + \frac{y}{x} \cdot 2}$

Étape 1.13.2

Remettez dans l’ordre $\frac{y}{x}$ et $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{3 + 2 \cdot \frac{y}{x}}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 \cdot V}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.1.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V} - V$

Étape 6.1.1.1.2

Divisez la fraction $\frac{2 + V^{2}}{3 + 2 V}$ en deux fractions.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} - V$

Étape 6.1.1.1.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 6.1.1.1.3.1

Écrivez $- V$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V}{1}$

Étape 6.1.1.1.3.2

Multipliez $\frac{- V}{1}$ par $\frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V}{1} \cdot \frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$

Étape 6.1.1.1.3.3

Multipliez $\frac{- V}{1}$ par $\frac{3 + 2 V}{3 + 2 V}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2}{3 + 2 V} + \frac{V^{2}}{3 + 2 V} + \frac{- V (3 + 2 V)}{3 + 2 V}$

Étape 6.1.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - V (3 + 2 V)}{2 V + 3}$

Étape 6.1.1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - V \cdot 3 - V (2 V)}{2 V + 3}$

Étape 6.1.1.1.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - V (2 V)}{2 V + 3}$

Étape 6.1.1.1.5.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 V \cdot V}{2 V + 3}$

Étape 6.1.1.1.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.5.4.1

Multipliez $V$ par $V$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.1.5.4.1.1

Déplacez $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 (V \cdot V)}{2 V + 3}$

Étape 6.1.1.1.5.4.1.2

Multipliez $V$ par $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 1 \cdot 2 V^{2}}{2 V + 3}$

Étape 6.1.1.1.5.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 + V^{2} - 3 V - 2 V^{2}}{2 V + 3}$

Étape 6.1.1.1.6

Soustrayez $2 V^{2}$ de $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V^{2} - 3 V}{2 V + 3}$

Étape 6.1.1.1.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}$

Étape 6.1.1.1.8

Divisez la fraction $\frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}$ en deux fractions.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{- V^{2} - 3 V}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Étape 6.1.1.1.9

Factorisez $V$ à partir de $- V^{2} - 3 V$ .

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Étape 6.1.1.1.9.1

Factorisez $V$ à partir de $- V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V) - 3 V}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Étape 6.1.1.1.9.2

Factorisez $V$ à partir de $- 3 V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V) + V \cdot - 3}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Étape 6.1.1.1.9.3

Factorisez $V$ à partir de $V (- V) + V \cdot - 3$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$

Étape 6.1.1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Étape 6.1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3}}{x} + \frac{\frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.2.3.1

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.1.2.3.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3)}{2 V + 3} + \frac{2}{2 V + 3}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V - 3) + 2}{2 V + 3}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (- V) + V \cdot - 3 + 2}{2 V + 3}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V \cdot V + V \cdot - 3 + 2}{2 V + 3}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.2.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V \cdot V - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.2.4

Multipliez $V$ par $V$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.2.3.2.4.1

Déplacez $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V \cdot V) - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.2.4.2

Multipliez $V$ par $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2} - 3 \cdot V + 2}{2 V + 3}}{x}$

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- V^{2} - 3 V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 6.1.1.2.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2}) - 3 V + 2}{2 V + 3}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2}) - (3 V) + 2}{2 V + 3}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (V^{2}) - (3 V)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V) + 2}{2 V + 3}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.3.4

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V) - 1 (- 2)}{2 V + 3}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (V^{2} + 3 V) - 1 (- 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- (V^{2} + 3 V - 2)}{2 V + 3}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.1.2.3.3.6.1

Réécrivez $- (V^{2} + 3 V - 2)$ comme $- 1 (V^{2} + 3 V - 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{- 1 (V^{2} + 3 V - 2)}{2 V + 3}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.2.3.5

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x (2 V + 3)}$

Étape 6.1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2}$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} (- \frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} (\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $\frac{V^{2} + 3 V - 2}{2 V + 3}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Étape 6.1.4.3

Annulez le facteur commun de $2 V + 3$ .

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Étape 6.1.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2}$ dans le numérateur.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- (2 V + 3)}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Étape 6.1.4.3.2

Factorisez $2 V + 3$ à partir de $- (2 V + 3)$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Étape 6.1.4.3.3

Factorisez $2 V + 3$ à partir de $(2 V + 3) x$ .

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) (x)}$

Étape 6.1.4.3.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{(2 V + 3) \cdot - 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{(2 V + 3) x}$

Étape 6.1.4.3.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x}$

Étape 6.1.4.4

Annulez le facteur commun de $V^{2} + 3 V - 2$ .

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Étape 6.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 3 V - 2} \cdot \frac{V^{2} + 3 V - 2}{x}$

Étape 6.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} d V = - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2 V + 3}{V^{2} + 3 V - 2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Laissez $u = V^{2} + 3 V - 2$ . Alors $d u = (2 V + 3) d V$ , donc $\frac{1}{2 V + 3} d u = d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Laissez $u = V^{2} + 3 V - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Différenciez $V^{2} + 3 V - 2$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 3 V - 2]$

Étape 6.2.2.1.1.2

Différenciez.

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Étape 6.2.2.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $V^{2} + 3 V - 2$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

Étape 6.2.2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [3 V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

Étape 6.2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d V} [3 V]$ .

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Étape 6.2.2.1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $3 V$ par rapport à $V$ est $3 \frac{d}{d V} [V]$ .

$2 V + 3 \frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [- 2]$

Étape 6.2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 V + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d V} [- 2]$

Étape 6.2.2.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 V + 3 + \frac{d}{d V} [- 2]$

Étape 6.2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.2.2.1.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $V$ est $0$ .

$2 V + 3 + 0$

Étape 6.2.2.1.1.4.2

Additionnez $2 V + 3$ et $0$ .

$2 V + 3$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $V^{2} + 3 V - 2$ .

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| V^{2} + 3 V - 2 |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 \frac{y}{x} - 2 |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 8

Résolvez $\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 \frac{y}{x} - 2 |) = - \ln (| x |) + C$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 |) + \ln (| x |) = C$

Étape 8.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| {(\frac{y}{x})}^{2} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 | | x |) = C$

Étape 8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + 3 (\frac{y}{x}) - 2 | | x |) = C$

Étape 8.3.2

Associez $3$ et $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{3 y}{x} - 2 | | x |) = C$

Étape 8.4

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| (\frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{3 y}{x} - 2) x |) = C$

Étape 8.5

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x^{2}} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Étape 8.6

Simplifiez

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Étape 8.6.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\ln (| \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Étape 8.6.1.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x \cdot x} \cdot x + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Étape 8.6.1.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Étape 8.6.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + \frac{3 y}{x} \cdot x - 2 x |) = C$

Étape 8.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| \frac{y^{2}}{x} + 3 y - 2 x |) = C$