Calcul infinitésimal Exemples

$x d x + \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x d x$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = - x d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} x d x$

Étape 3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = x$ .

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Étape 3.4

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ .

$1 d y = - (\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}) x d x$

Étape 3.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ par $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Étape 3.5.2

Élevez $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ à la puissance $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Étape 3.5.3

Élevez $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ à la puissance $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} {\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1}} x d x$

Étape 3.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1 + 1}} x d x$

Étape 3.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}} x d x$

Étape 3.5.6

Réécrivez ${\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}$ comme $(a + x) (a - x)$ .

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Étape 3.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ comme ${((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{({((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} x d x$

Étape 3.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x d x$

Étape 3.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

Étape 3.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

Étape 3.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{1}} x d x$

Étape 3.5.6.5

Simplifiez

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} x d x$

Étape 3.6

Associez $x$ et $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)}$ .

$1 d y = - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Étape 4.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u = (a + x) (a - x)$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u = (a + x) (a - x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $(a + x) (a - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(a + x) (a - x)]$

Étape 4.3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = a + x$ et $g (x) = a - x$ .

$(a + x) \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Étape 4.3.2.1.3

Différenciez.

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Étape 4.3.2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Étape 4.3.2.1.3.2

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(a + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Étape 4.3.2.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(a + x) \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Étape 4.3.2.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(a + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Étape 4.3.2.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(a + x) (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Étape 4.3.2.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(a + x) \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Étape 4.3.2.1.3.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $a + x$ .

$- 1 \cdot (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Étape 4.3.2.1.3.6.3

Réécrivez $- 1 (a + x)$ comme $- (a + x)$ .

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Étape 4.3.2.1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (a + x) + (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3.2.1.3.8

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- (a + x) + (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3.2.1.3.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.2.1.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (a + x) + (a - x) \cdot 1$

Étape 4.3.2.1.3.11

Multipliez $a - x$ par $1$ .

$- (a + x) + a - x$

Étape 4.3.2.1.4

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- a - x + a - x$

Étape 4.3.2.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.3.2.1.4.2.1

Additionnez $- a$ et $a$ .

$- x + 0 - x$

Étape 4.3.2.1.4.2.2

Additionnez $- x$ et $0$ .

$- x - x$

Étape 4.3.2.1.4.2.3

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$- 2 x$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Étape 4.3.3

Simplifiez

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Étape 4.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 4.3.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{u}}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Étape 4.3.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Étape 4.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Étape 4.3.5

Simplifiez

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $\int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$ par $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Étape 4.3.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Étape 4.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Étape 4.3.7.2

Simplifiez

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Étape 4.3.7.2.1

Placez $u^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.3.7.2.2

Multipliez $u$ par $u^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.7.2.2.1

Multipliez $u$ par $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.3.7.2.2.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.3.7.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.3.7.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.3.7.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Étape 4.3.7.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 4.3.7.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.3.7.3.1

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 4.3.7.3.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.7.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 4.3.7.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 4.3.7.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 4.3.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 4.3.9

Simplifiez

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Étape 4.3.9.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.9.2

Simplifiez

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Étape 4.3.9.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.9.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.9.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.9.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.9.2.3

Multipliez $u^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(a + x) (a - x)$ .

$y + C_{1} = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + K$