Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1)}{2 x}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2} \cdot \frac{x + 1}{x}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{2}{y}$ .

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (\frac{y}{2} \cdot \frac{x + 1}{x})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{y}{2}$ par $\frac{x + 1}{x}$ .

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 x}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 (x)}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{2 x}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (x + 1)}{x}$

Étape 1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{2}{y} d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$2 \ln (| y |) = x + \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \ln (| y |) - \ln (| x |) = x + C$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $2 \ln (| y |) - \ln (| x |)$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

Étape 3.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (y^{2}) - \ln (| x |) = x + C$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{| x |})} = e^{x + C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{y^{2}}{| x |}) = x + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = \frac{y^{2}}{| x |}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$ .

$\frac{y^{2}}{| x |} = e^{x + C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par $| x |$ .

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{| x |} | x | = e^{x + C} | x |$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = e^{x + C} | x |$

Étape 3.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.4.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Étape 3.5.4.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.4.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Étape 3.5.4.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Étape 3.5.4.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = \sqrt{e^{x + C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{x + C}$ comme $e^{x} e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x + C} | x |}$

Étape 4.3

Réécrivez $e^{x + C}$ comme $e^{x} e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{x} e^{C} | x |}$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $e^{C}$ .

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$

$y = - \sqrt{e^{C} e^{x} | x |}$