Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{20 - x} y = 4$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{2}{20 - x}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{2}{20 - x} d x}$

Étape 1.2

Intégrez $\frac{2}{20 - x}$ .

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int \frac{1}{20 - x} d x}$

Étape 1.2.2

Laissez $u = 20 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.2.2.1

Laissez $u = 20 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 1.2.2.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{2 \int \frac{- 1}{u} d u}$

Étape 1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{2 \int - \frac{1}{u} d u}$

Étape 1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 (- \int \frac{1}{u} d u)}$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 1.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Étape 1.2.7

Simplifiez

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Étape 1.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $20 - x$ .

$e^{- 2 \ln (| 20 - x |) + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 2 \ln (20 - x)}$

Étape 1.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln ({(20 - x)}^{- 2})}$

Étape 1.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(20 - x)}^{- 2}$

Étape 1.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Étape 2.2.2

Associez $\frac{2}{20 - x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Étape 2.2.3

Multipliez $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x}$ .

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ par $\frac{2 y}{20 - x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} (20 - x)} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Étape 2.2.3.2

Multipliez ${(20 - x)}^{2}$ par $20 - x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez ${(20 - x)}^{2}$ par $20 - x$ .

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Étape 2.2.3.2.1.1

Élevez $20 - x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} {(20 - x)}^{1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Étape 2.2.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2 + 1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Étape 2.2.3.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ et $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] d x = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Étape 6.2

Laissez $u = 20 - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.1

Laissez $u = 20 - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.2.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 6.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int - \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 6.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 (- \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Étape 6.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.5.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 6.5.2

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 6.5.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 6.5.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{- 2} d u$

Étape 6.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- u^{- 1} + C)$

Étape 6.7

Simplifiez

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Étape 6.7.1

Réécrivez $- 4 (- u^{- 1} + C)$ comme $- 4 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- \frac{1}{u}) + C$

Étape 6.7.2

Simplifiez

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Étape 6.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \frac{1}{u} + C$

Étape 6.7.2.2

Associez $4$ et $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{u} + C$

Étape 6.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $20 - x$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{20 - x} + C$

Étape 7

Résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Soustrayez $\frac{4}{20 - x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} = C$

Étape 7.1.2

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

Étape 7.1.3

Associez $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ et $y$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

Étape 7.1.4

Pour écrire $- \frac{4}{20 - x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{20 - x}{20 - x}$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} \cdot \frac{20 - x}{20 - x} - C = 0$

Étape 7.1.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(20 - x)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.1.5.1

Multipliez $\frac{4}{20 - x}$ par $\frac{20 - x}{20 - x}$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{(20 - x) (20 - x)} - C = 0$

Étape 7.1.5.2

Élevez $20 - x$ à la puissance $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} (20 - x)} - C = 0$

Étape 7.1.5.3

Élevez $20 - x$ à la puissance $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} {(20 - x)}^{1}} - C = 0$

Étape 7.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1 + 1}} - C = 0$

Étape 7.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Étape 7.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y - 4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Étape 7.1.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y - 4 \cdot 20 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Étape 7.1.7.2

Multipliez $- 4$ par $20$ .

$\frac{y - 80 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Étape 7.1.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Étape 7.1.8

Pour écrire $- C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C \cdot \frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.9

Associez $- C$ et $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{- C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y - 80 + 4 x - C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.11.1

Réécrivez ${(20 - x)}^{2}$ comme $(20 - x) (20 - x)$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C ((20 - x) (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.11.2

Développez $(20 - x) (20 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1.11.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 (20 - x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.11.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.11.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.11.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.1.11.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.11.3.1.1

Multipliez $20$ par $20$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.11.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.11.3.1.3

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.11.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.11.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.11.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.11.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.11.3.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.11.3.1.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.11.3.2

Soustrayez $20 x$ de $- 20 x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 40 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.11.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y - 80 + 4 x - C \cdot 400 - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.11.5

Simplifiez

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Étape 7.1.11.5.1

Multipliez $400$ par $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.11.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - 1 \cdot - 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.1.11.6

Multipliez $- 1$ par $- 40$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Étape 7.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 0$

Étape 7.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.3.1

Ajoutez $80$ aux deux côtés de l’équation.

$y + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80$

Étape 7.3.2

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$y - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x$

Étape 7.3.3

Ajoutez $400 C$ aux deux côtés de l’équation.

$y + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C$

Étape 7.3.4

Soustrayez $40 C x$ des deux côtés de l’équation.

$y - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x$

Étape 7.3.5

Ajoutez $C x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x + C x^{2}$