Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = a (b - y)$

Étape 1

Laissez $v = b - y$ . Remplacez toutes les occurrences de $b - y$ par $v$ .

$\frac{d y}{d x} = a v$

Étape 2

Déterminez $\frac{d v}{d x}$ en différenciant $b - y$ .

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $b - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.2

Comme $b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $b$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 + \frac{d}{d x} [- y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 - \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 - y'$

Étape 2.4

Soustrayez $y'$ de $0$ .

$\frac{d v}{d x} = - y'$

Étape 3

Remplacez à nouveau la dérivée dans l’équation différentielle.

$- \frac{d v}{d x} = a v$

Étape 4

Séparez les variables.

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (a v)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $v$ à partir de $a v$ .

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

Étape 4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

Étape 4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = a$

Étape 4.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{1}{v} \cdot - 1 \frac{d v}{d x} = a$

Étape 4.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{v} \cdot - 1 d v = a d x$

Étape 5

Intégrez les deux côtés.

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Étape 5.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{v} \cdot - 1 d v = \int a d x$

Étape 5.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez

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Étape 5.2.1.1

Associez $\frac{1}{v}$ et $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{v} d v = \int a d x$

Étape 5.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{v} d v = \int a d x$

Étape 5.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $v$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{v} d v = \int a d x$

Étape 5.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{v}$ par rapport à $v$ est $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) = \int a d x$

Étape 5.2.4

Simplifiez

$- \ln (| v |) + C_{1} = \int a d x$

Étape 5.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \ln (| v |) + C_{1} = a x + C_{2}$

Étape 5.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| v |) = a x + C$

Étape 6

Résolvez $v$ .

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| v |) = a x + C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| v |) = a x + C$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| v |)}{- 1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| v |)}{1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.1.2.2

Divisez $\ln (| v |)$ par $1$ .

$\ln (| v |) = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{a x}{- 1}$ .

$\ln (| v |) = - 1 \cdot (a x) + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.1.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (a x)$ comme $- (a x)$ .

$\ln (| v |) = - (a x) + \frac{C}{- 1}$

Étape 6.1.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| v |) = - a x - 1 \cdot C$

Étape 6.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| v |) = - a x - C$

Étape 6.2

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- a x - C}$

Étape 6.3

Réécrivez $\ln (| v |) = - a x - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- a x - C} = | v |$

Étape 6.4

Résolvez $v$ .

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Étape 6.4.1

Réécrivez l’équation comme $| v | = e^{- a x - C}$ .

$| v | = e^{- a x - C}$

Étape 6.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{- a x - C}$

Étape 7

Regroupez les termes constants.

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Étape 7.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$v = \pm e^{- a x + C}$

Étape 7.2

Réécrivez $e^{- a x + C}$ comme $e^{- a x} e^{C}$ .

$v = \pm e^{- a x} e^{C}$

Étape 7.3

Remettez dans l’ordre $e^{- a x}$ et $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{- a x}$

Étape 7.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$v = C e^{- a x}$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $b - y$ .

$b - y = C e^{- a x}$

Étape 9

Résolvez $y$ .

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Étape 9.1

Soustrayez $b$ des deux côtés de l’équation.

$- y = C e^{- a x} - b$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $- y = C e^{- a x} - b$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $- y = C e^{- a x} - b$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Étape 9.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Étape 9.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C e^{- a x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

Étape 9.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (C e^{- a x})$ comme $- (C e^{- a x})$ .

$y = - (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

Étape 9.2.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - C e^{- a x} + \frac{b}{1}$

Étape 9.2.3.1.4

Divisez $b$ par $1$ .

$y = - C e^{- a x} + b$

Étape 10

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = C e^{- a x} + b$