Calcul infinitésimal Exemples

$2 \frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- x}$ , $y (0) = 5$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $2 \frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- x}$ par $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Étape 1.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{2} y = \frac{1}{2} e^{- x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{3}{2}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{3}{2} d x}$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{\frac{3}{2} x + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\frac{3}{2} x}$

Étape 2.4

Associez $\frac{3}{2}$ et $x$ .

$e^{\frac{3 x}{2}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{3}{2} y) = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{2} e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Étape 3.2.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{2} y = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{2}$ et $y$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{3 x}{2}} e^{- x}$

Étape 3.4

Multipliez $e^{\frac{3 x}{2}}$ par $e^{- x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $e^{- x}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} (e^{- x} e^{\frac{3 x}{2}})$

Étape 3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{- x + \frac{3 x}{2}}$

Étape 3.4.3

Pour écrire $- x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{- x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x}{2}}$

Étape 3.4.4

Associez $- x$ et $\frac{2}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{- x \cdot 2}{2} + \frac{3 x}{2}}$

Étape 3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{- x \cdot 2 + 3 x}{2}}$

Étape 3.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.6.1

Factorisez $x$ à partir de $- x \cdot 2 + 3 x$ .

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Étape 3.4.6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x \cdot 2$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2) + 3 x}{2}}$

Étape 3.4.6.1.2

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2) + x \cdot 3}{2}}$

Étape 3.4.6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 1 \cdot 2) + x \cdot 3$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2 + 3)}{2}}$

Étape 3.4.6.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 2 + 3)}{2}}$

Étape 3.4.6.3

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x \cdot 1}{2}}$

Étape 3.4.7

Multipliez $x$ par $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$

Étape 3.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Étape 3.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 y e^{\frac{3 x}{2}}}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{3 x}{2}} y] = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{3 x}{2}} y] d x = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{\frac{x}{2}} d x$

Étape 7.2

Laissez $u = \frac{x}{2}$ . Alors $d u = \frac{1}{2} d x$ , donc $2 d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.2.1

Laissez $u = \frac{x}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Différenciez $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Étape 7.2.1.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 7.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \cdot 2 d u$

Étape 7.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $e^{u}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int 2 e^{u} d u$

Étape 7.4

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} (2 \int e^{u} d u)$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Étape 7.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Étape 7.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = 1 \int e^{u} d u$

Étape 7.5.3

Multipliez $\int e^{u} d u$ par $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \int e^{u} d u$

Étape 7.6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{u} + C$

Étape 7.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{x}{2}} + C$

Étape 7.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$ par $e^{\frac{3 x}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$ par $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{3 x}{2}} y}{e^{\frac{3 x}{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{\frac{3 x}{2}} y}{e^{\frac{3 x}{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun à $e^{\frac{1}{2} x}$ et $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Factorisez $e^{\frac{3 x}{2}}$ à partir de $e^{\frac{1}{2} x}$ .

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3.1.1.2.4

Divisez $e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}$ par $1$ .

$y = e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x$ .

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Étape 8.3.1.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $\frac{1}{2} x \cdot 2$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) - 3 x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3.1.2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 3}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3.1.2.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 3$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = e^{\frac{x (1 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3.1.2.3

Soustrayez $3$ de $1$ .

$y = e^{\frac{x \cdot - 2}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 8.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $x \cdot - 2$ .

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2 (1)}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2 \cdot 1}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = e^{\frac{x \cdot - 1}{1}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3.1.3.2.4

Divisez $x \cdot - 1$ par $1$ .

$y = e^{x \cdot - 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3.1.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$y = e^{- 1 \cdot x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 8.3.1.5

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Étape 9

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $5$ dans $y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$ .

$5 = e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}}$

Étape 10

Résolvez $C$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$ .

$e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 10.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $3 \cdot 0$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2}}} = 5$

Étape 10.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}}} = 5$

Étape 10.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}}} = 5$

Étape 10.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{1}}} = 5$

Étape 10.2.2.2.4

Divisez $3 \cdot 0$ par $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Étape 10.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.3.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$1 + \frac{C}{e^{0}} = 5$

Étape 10.2.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1 + \frac{C}{1} = 5$

Étape 10.2.4

Divisez $C$ par $1$ .

$1 + C = 5$

Étape 10.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$C = 5 - 1$

Étape 10.3.2

Soustrayez $1$ de $5$ .

$C = 4$

Étape 11

Remplacez $C$ par $4$ dans $y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Remplacez $C$ par $4$ .

$y = e^{- x} + \frac{4}{e^{\frac{3 x}{2}}}$