Calcul infinitésimal Exemples

$x d x + y e^{- x} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x d x$ des deux côtés de l’équation.

$y e^{- x} d y = - x d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$\frac{1}{e^{- x}} (y e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $y e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x}} (e^{- x} y) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{- x}} (e^{- x} y) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$y d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y d y = - \frac{1}{e^{- x}} x d x$

Étape 3.3

Associez $x$ et $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$y d y = - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1

Inversez l’exposant de $e^{- x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x {(e^{- x})}^{- 1} d x$

Étape 4.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{- x})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- x \cdot - 1} d x$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 4.3.2.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{1 x} d x$

Étape 4.3.2.2.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{x} d x$

Étape 4.3.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Étape 4.3.4

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

Étape 4.3.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - (x e^{x} - e^{x}) + K$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- (x e^{x}) - - e^{x} + K)$

Étape 5.2.2.1.1.2

Multipliez $- - e^{x}$ .

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Étape 5.2.2.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{2} = 2 (- x e^{x} + 1 e^{x} + K)$

Étape 5.2.2.1.1.2.2

Multipliez $e^{x}$ par $1$ .

$y^{2} = 2 (- x e^{x} + e^{x} + K)$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- x e^{x}) + 2 e^{x} + 2 K$

Étape 5.2.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} = - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K$

Étape 5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K}$

Étape 5.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x e^{x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 e^{x} + 2 K}$

Étape 5.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x}) + 2 K}$

Étape 5.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x}) + 2 K}$

Étape 5.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x})$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x}) + 2 K}$

Étape 5.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x e^{x} + e^{x}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Étape 5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Étape 5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Étape 5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$