Calcul infinitésimal Exemples

$(y^{2} + x y^{2}) \frac{d y}{d x} + x^{2} - x^{2} y = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} - x^{2} y = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} - x^{2} y = - x^{2}$

Étape 1.1.2.2

Ajoutez $x^{2} y$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x} = - x^{2} + x^{2} y$

Étape 1.1.3

Factorisez $y^{2} \frac{d y}{d x}$ à partir de $y^{2} \frac{d y}{d x} + x y^{2} \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $y^{2} \frac{d y}{d x}$ à partir de $y^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x y^{2} \frac{d y}{d x} = - x^{2} + x^{2} y$

Étape 1.1.3.2

Factorisez $y^{2} \frac{d y}{d x}$ à partir de $x y^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y^{2} \frac{d y}{d x} x = - x^{2} + x^{2} y$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $y^{2} \frac{d y}{d x}$ à partir de $y^{2} \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y^{2} \frac{d y}{d x} x$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$

Étape 1.1.4

Divisez chaque terme dans $y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$ par $y^{2} (1 + x)$ et simplifiez.

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Étape 1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x) = - x^{2} + x^{2} y$ par $y^{2} (1 + x)$ .

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x)}{y^{2} (1 + x)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x} (1 + x)}{y^{2} (1 + x)} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 1.1.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x)}{1 + x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.1.4.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.1.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

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Étape 1.1.4.3.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.1.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.4.3.1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} (1 + x)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y (y (1 + x))}$

Étape 1.1.4.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{y x^{2}}{y (y (1 + x))}$

Étape 1.1.4.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2}}{y (1 + x)}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Pour écrire $\frac{x^{2}}{y (1 + x)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2}}{y (1 + x)} \cdot \frac{y}{y}$

Étape 1.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(1 + x) y^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $\frac{x^{2}}{y (1 + x)}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y (1 + x) y}$

Étape 1.2.2.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1} y (1 + x)}$

Étape 1.2.2.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1} y^{1} (1 + x)}$

Étape 1.2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{1 + 1} (1 + x)}$

Étape 1.2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 + x)} + \frac{x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{2} + x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.2.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2} + x^{2} y$ .

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Étape 1.2.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 1 + x^{2} y}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.2.4.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (y)}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.2.4.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (y)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.2.4.4

Multipliez $x^{2}$ par $- 1 + y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x} \cdot \frac{- 1 + y}{y^{2}}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{y^{2}}{- 1 + y}$ .

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} (\frac{x^{2}}{1 + x} \cdot \frac{- 1 + y}{y^{2}})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{x^{2}}{1 + x}$ par $\frac{- 1 + y}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{(1 + x) y^{2}}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $(1 + x) y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{y^{2} (1 + x)}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{x^{2} (- 1 + y)}{1 + x}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $- 1 + y$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $- 1 + y$ à partir de $x^{2} (- 1 + y)$ .

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{(- 1 + y) x^{2}}{1 + x}$

Étape 1.5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{- 1 + y} \cdot \frac{(- 1 + y) x^{2}}{1 + x}$

Étape 1.5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{y^{2}}{- 1 + y} d y = \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y^{2}}{- 1 + y} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $y$ .

$\int \frac{y^{2}}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2.2.2

Divisez $y^{2}$ par $y - 1$ .

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Étape 2.2.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$0$

Étape 2.2.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

					$y$
	$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$

Étape 2.2.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			+	$y^{2}$	-	$y$

Étape 2.2.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y^{2} - y$

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$

Étape 2.2.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$

Étape 2.2.2.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$y$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$

Étape 2.2.2.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $y$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $y$ .

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$

Étape 2.2.2.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					+	$y$	-	$1$

Étape 2.2.2.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $y - 1$

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					-	$y$	+	$1$

Étape 2.2.2.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$y$	+	$1$
$y$	-	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$0$
			-	$y^{2}$	+	$y$
					+	$y$	+	$0$
					-	$y$	+	$1$
							+	$1$

Étape 2.2.2.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int y + 1 + \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2.2.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y d y + \int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int d y + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2.2.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \int \frac{1}{y - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2.2.6

Laissez $u_{1} = y - 1$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.6.1

Laissez $u_{1} = y - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.6.1.1

Différenciez $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Étape 2.2.6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.6.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2.2.7

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + y + C_{2} + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2.2.8

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| u_{1} |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2.2.9

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y - 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $x$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Étape 2.3.2

Divisez $x^{2}$ par $x + 1$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 2.3.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Étape 2.3.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 2.3.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 2.3.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Étape 2.3.2.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Étape 2.3.2.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Étape 2.3.2.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Étape 2.3.2.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x - 1$

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Étape 2.3.2.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Étape 2.3.2.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.3.6

Laissez $u_{2} = x + 1$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.6.1

Laissez $u_{2} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.3.6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.6.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.7

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{5} - x + C_{6} + \ln (| u_{2} |) + C_{7}$

Étape 2.3.8

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u_{2} |) + C_{8}$

Étape 2.3.9

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C_{8}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + y + \ln (| y - 1 |) = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$