Calcul infinitésimal Exemples

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y = (2 x y - e^{y} - x) d x$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $(2 x y - e^{y} - x) d x$ des deux côtés de l’équation.

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y - (2 x y - e^{y} - x) d x = 0$

Étape 1.2

Réécrivez.

$- (2 x y - e^{y} - x) d x + (x e^{y} + y - x^{2}) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = - (2 x y - e^{y} - x)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y - e^{y} - x)]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- (2 x y - e^{y} - x)$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y - e^{y} - x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Étape 2.2.3

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Étape 2.2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- e^{y}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ est $a^{y} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + \frac{d}{d y} [- x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + 0)$

Étape 2.4.2

Additionnez $2 x - e^{y}$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y})$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x) - - e^{y}$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x - - e^{y}$

Étape 2.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 1 e^{y}$

Étape 2.5.2.3

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + e^{y}$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y} + y - x^{2}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{y} + y - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x e^{y}$ par rapport à $x$ est $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.3.3

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.4

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - (2 x)$

Étape 3.5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - 2 x$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Additionnez $e^{y}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} - 2 x$

Étape 3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + e^{y}$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 x + e^{y}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x + e^{y}$ .

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$

Étape 4.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$ est une identité.

Étape 5

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{y} + y - x^{2} d y$

Étape 6

Intégrez $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 6.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Étape 6.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , placez $x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x \int e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Étape 6.3

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Étape 6.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x^{2} d y$

Étape 6.5

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C - x^{2} y + C$

Étape 6.6

Simplifiez

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + C$

Étape 7

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$

Étape 8

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Étape 9

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 9.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Étape 9.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Étape 9.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Étape 9.3.1

Comme $e^{y}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x e^{y}$ par rapport à $x$ est $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Étape 9.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Étape 9.3.3

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$e^{y} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Étape 9.4

Comme $\frac{1}{2} y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Étape 9.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Étape 9.5.1

Comme $- y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2} y$ par rapport à $x$ est $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{y} + 0 - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Étape 9.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{y} + 0 - y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Étape 9.5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Étape 9.6

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Étape 9.7

Simplifiez

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Étape 9.7.1

Additionnez $e^{y}$ et $0$ .

$e^{y} - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Étape 9.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Étape 10

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 10.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Simplifiez $- (2 x y - e^{y} - x)$ .

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Étape 10.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = 0 + 0 - (2 x y - e^{y} - x)$

Étape 10.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Étape 10.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y) - - e^{y} - - x$

Étape 10.1.1.4

Simplifiez

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Étape 10.1.1.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) - - e^{y} - - x$

Étape 10.1.1.4.2

Multipliez $- - e^{y}$ .

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Étape 10.1.1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + 1 e^{y} - - x$

Étape 10.1.1.4.2.2

Multipliez $e^{y}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} - - x$

Étape 10.1.1.4.3

Multipliez $- - x$ .

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Étape 10.1.1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + 1 x$

Étape 10.1.1.4.3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + x$

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x$

Étape 10.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1.2.1

Ajoutez $2 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y$

Étape 10.1.2.2

Soustrayez $e^{y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$

Étape 10.1.2.3

Associez les termes opposés dans $- 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$ .

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Étape 10.1.2.3.1

Additionnez $- 2 x y$ et $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x + 0 - e^{y}$

Étape 10.1.2.3.2

Additionnez $e^{y} + x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x - e^{y}$

Étape 10.1.2.3.3

Soustrayez $e^{y}$ de $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Étape 10.1.2.3.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Étape 11

Déterminez la primitive de $x$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 11.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Étape 11.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Étape 11.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 13.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{x^{2}}{2} + C$