Calcul infinitésimal Exemples

$m x d y = n y d x$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Étape 2.1.2

Factorisez $x$ à partir de $m x$ .

$\frac{1}{x (y)} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Étape 2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x y} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Étape 2.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} m d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Étape 2.2

Associez $\frac{1}{y}$ et $m$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (n y) d x$

Étape 2.3.2

Factorisez $y$ à partir de $n y$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

Étape 2.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x} n d x$

Étape 2.4

Associez $\frac{1}{x}$ et $n$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{n}{x} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{m}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

Étape 3.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Comme $m$ est constant par rapport à $y$ , placez $m$ en dehors de l’intégrale.

$m \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

Étape 3.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$m (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{n}{x} d x$

Étape 3.2.3

Simplifiez

$m \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{n}{x} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Comme $n$ est constant par rapport à $x$ , placez $n$ en dehors de l’intégrale.

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \int \frac{1}{x} d x$

Étape 3.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$m \ln (| y |) + C_{1} = n (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 3.3.3

Simplifiez

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$m \ln (| y |) = n \ln (| x |) + C$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$m \ln (| y |) - n \ln (| x |) = C$

Étape 4.2

Ajoutez $n \ln (| x |)$ aux deux côtés de l’équation.

$m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ par $\ln (| y |)$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ par $\ln (| y |)$ .

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (| y |)$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Étape 4.3.2.1.2

Divisez $m$ par $1$ .

$m = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Étape 4.4

Réécrivez l’équation comme $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ .

$\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$

Étape 4.5

Multiplier chaque terme dans $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ par $\ln (| y |)$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.5.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ par $\ln (| y |)$ .

$\frac{C}{\ln (| y |)} \ln (| y |) + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

Étape 4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.5.2.1.1

Associez $\frac{C}{\ln (| y |)}$ et $\ln (| y |)$ .

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

Étape 4.5.2.1.2

Associez $\frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$ et $\ln (| y |)$ .

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = m \ln (| y |)$

Étape 4.6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Étape 4.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.7.1

Annulez le facteur commun de $\ln (| y |)$ .

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Étape 4.7.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Étape 4.7.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Étape 4.7.2

Annulez le facteur commun de $\ln (| y |)$ .

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Étape 4.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Étape 4.7.2.2

Divisez $n \ln (| x |)$ par $1$ .

$C + n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = 0$

Étape 4.8

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\ln (| y |)$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.8.1

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = - C$

Étape 4.8.2

Soustrayez $n \ln (| x |)$ des deux côtés de l’équation.

$- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$

Étape 4.9

Divisez chaque terme dans $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ par $- m$ et simplifiez.

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Étape 4.9.1

Divisez chaque terme dans $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ par $- m$ .

$\frac{- m \ln (| y |)}{- m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Étape 4.9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.9.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Étape 4.9.2.2

Annulez le facteur commun de $m$ .

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Étape 4.9.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Étape 4.9.2.2.2

Divisez $\ln (| y |)$ par $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Étape 4.9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.9.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.9.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Étape 4.9.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$

Étape 4.10

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

Étape 4.11

Réécrivez $\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}} = | y |$

Étape 4.12

Résolvez $y$ .

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Étape 4.12.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$ .

$| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

Étape 4.12.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$