Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + y = x e^{x}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 1$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} (x e^{x})$

Étape 2.2

Multipliez $e^{x}$ par $e^{x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} e^{x} x$

Étape 2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x + x} x$

Étape 2.2.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x} x$

Étape 2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{2 x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x e^{2 x}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x e^{2 x}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x e^{2 x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{x} y = \int x e^{2 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{2 x}$ .

$e^{x} y = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 x}$ .

$e^{x} y = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Étape 6.2.2

Associez $x$ et $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Étape 6.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Étape 6.4

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.4.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.4.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 6.4.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 6.4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 6.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 6.5

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 6.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Étape 6.7

Simplifiez

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Étape 6.7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Étape 6.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Étape 6.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{x} y = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Étape 6.9

Réécrivez $\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ comme $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Étape 6.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ par $e^{x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{x} y = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ par $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun à $e^{2 x}$ et $e^{x}$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $\frac{1}{2} x e^{2 x}$ .

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} x e^{x})}{e^{x}} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} x e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{x} (\frac{1}{2} x e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{1}{2} x e^{x}}{1} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.1.2.4

Divisez $\frac{1}{2} x e^{x}$ par $1$ .

$y = \frac{1}{2} x e^{x} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $\frac{1}{2} x e^{x}$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{x}{2} e^{x} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.2.2

Associez $\frac{x}{2}$ et $e^{x}$ .

$y = \frac{x e^{x}}{2} + \frac{- \frac{1}{4} e^{2 x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.3

Annulez le facteur commun à $e^{2 x}$ et $e^{x}$ .

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Étape 7.3.1.3.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- \frac{1}{4} e^{2 x}$ .

$y = \frac{x e^{x}}{2} + \frac{e^{x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{2} + \frac{e^{x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x e^{x}}{2} + \frac{e^{x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x e^{x}}{2} + \frac{- \frac{1}{4} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.3.2.4

Divisez $- \frac{1}{4} e^{x}$ par $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{2} - \frac{1}{4} e^{x} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3.1.4

Associez $e^{x}$ et $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{x e^{x}}{2} - \frac{e^{x}}{4} + \frac{C}{e^{x}}$