Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(x^{2} - 2) (y^{2} + 3)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} - 2} \cdot \frac{y}{y^{2} + 3}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{y^{2} + 3}{y}$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} (\frac{2 x}{x^{2} - 2} \cdot \frac{y}{y^{2} + 3})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{2 x}{x^{2} - 2}$ par $\frac{y}{y^{2} + 3}$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} \cdot \frac{2 x y}{(x^{2} - 2) (y^{2} + 3)}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 3$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $y^{2} + 3$ à partir de $(x^{2} - 2) (y^{2} + 3)$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} \cdot \frac{2 x y}{(y^{2} + 3) (x^{2} - 2)}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} \cdot \frac{2 x y}{(y^{2} + 3) (x^{2} - 2)}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{2 x y}{x^{2} - 2}$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (2 x)}{x^{2} - 2}$

Étape 1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (2 x)}{x^{2} - 2}$

Étape 1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} - 2}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{y^{2} + 3}{y} d y = \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y^{2} + 3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{y^{2}}{y} + \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{y^{2}}{y} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 2.2.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\int \frac{y \cdot y}{y} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Étape 2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Étape 2.2.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Étape 2.2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Étape 2.2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{y}{1} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Étape 2.2.3.2.5

Divisez $y$ par $1$ .

$\int y d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Étape 2.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Étape 2.2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 3 (\ln (| y |) + C_{2}) = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{x}{x^{2} - 2} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = x^{2} - 2$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = x^{2} - 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.2.1.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $\int \frac{1}{u} d u$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| u |) + C_{4}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x^{2} - 2 |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) = \ln (| x^{2} - 2 |) + C$