Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + e^{2 y}) d x + (2 x e^{2 y}) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(1 + e^{2 y}) d x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x e^{2 y} d y = - (1 + e^{2 y}) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ .

$\frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (2 x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Étape 3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ .

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x e^{2 y}$ .

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x (e^{2 y})) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1 + e^{2 y}} e^{2 y} d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Étape 3.4

Associez $\frac{2}{1 + e^{2 y}}$ et $e^{2 y}$ .

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Étape 3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = - \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (1 + e^{2 y}) d x$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $1 + e^{2 y}$ .

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Étape 3.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ dans le numérateur.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{x (1 + e^{2 y})} (1 + e^{2 y}) d x$

Étape 3.6.2

Factorisez $1 + e^{2 y}$ à partir de $x (1 + e^{2 y})$ .

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{(1 + e^{2 y}) x} (1 + e^{2 y}) d x$

Étape 3.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{(1 + e^{2 y}) x} (1 + e^{2 y}) d x$

Étape 3.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = - \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2

Laissez $u_{2} = 1 + e^{2 y}$ . Alors $d u_{2} = 2 e^{2 y} d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 y} d y$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.2.2.1

Laissez $u_{2} = 1 + e^{2 y}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Différenciez $1 + e^{2 y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{2 y}]$

Étape 4.2.2.1.2

Différenciez.

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Étape 4.2.2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{2 y}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Étape 4.2.2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Étape 4.2.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = e^{y}$ et $g (y) = 2 y$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 y$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 4.2.2.1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 4.2.2.1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 y$ .

$0 + e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 4.2.2.1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])$

Étape 4.2.2.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + e^{2 y} (2 \cdot 1)$

Étape 4.2.2.1.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + e^{2 y} \cdot 2$

Étape 4.2.2.1.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 y}$ .

$0 + 2 e^{2 y}$

Étape 4.2.2.1.4

Additionnez $0$ et $2 e^{2 y}$ .

$2 e^{2 y}$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

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Étape 4.2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5.3

Multipliez $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 + e^{2 y}$ .

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.3

Simplifiez

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) = - \ln (| x |) + C$