Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y - 1}{x + 2}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{2 y - 1}$ .

$\frac{1}{2 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y - 1} \cdot \frac{2 y - 1}{x + 2}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $2 y - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y - 1} \cdot \frac{2 y - 1}{x + 2}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2 y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{2 y - 1} d y = \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{2 y - 1} d y = \int \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 2 y - 1$ . Alors $d u_{1} = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 2 y - 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y - 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 y - 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = x + 2$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.1.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |) + C_{1} = \ln (| x + 2 |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |) = \ln (| x + 2 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |)) = 2 (\ln (| x + 2 |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 1 |))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| 2 y - 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y - 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 2 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| 2 y - 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 2 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 2 y - 1 |) = 2 (\ln (| x + 2 |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 2 y - 1 |) = 2 \ln (| x + 2 |) + 2 C$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 2 y - 1 |) - 2 \ln (| x + 2 |) = 2 C$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Simplifiez $\ln (| 2 y - 1 |) - 2 \ln (| x + 2 |)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x + 2 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| 2 y - 1 |) - \ln ({| x + 2 |}^{2}) = 2 C$

Étape 3.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x + 2 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| 2 y - 1 |) - \ln ({(x + 2)}^{2}) = 2 C$

Étape 3.4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 y - 1 |}{{(x + 2)}^{2}}) = 2 C$

Étape 3.5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| 2 y - 1 |}{{(x + 2)}^{2}})} = e^{2 C}$

Étape 3.6

Réécrivez $\ln (\frac{| 2 y - 1 |}{{(x + 2)}^{2}}) = 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 2 y - 1 |}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 3.7

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| 2 y - 1 |}{{(x + 2)}^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 2 y - 1 |}{{(x + 2)}^{2}} = e^{2 C}$

Étape 3.7.2

Multipliez les deux côtés par ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{| 2 y - 1 |}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = e^{2 C} {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.7.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 2)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 2 y - 1 |}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = e^{2 C} {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.7.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} {(x + 2)}^{2}$

Étape 3.7.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.4.1

Simplifiez $e^{2 C} {(x + 2)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.4.1.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} ((x + 2) (x + 2))$

Étape 3.7.4.1.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

Étape 3.7.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

Étape 3.7.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Étape 3.7.4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.4.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Étape 3.7.4.1.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

Étape 3.7.4.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

Étape 3.7.4.1.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} (x^{2} + 4 x + 4)$

Étape 3.7.4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} (4 x) + e^{2 C} \cdot 4$

Étape 3.7.4.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.4.1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} x^{2} + 4 e^{2 C} x + e^{2 C} \cdot 4$

Étape 3.7.4.1.5.2

Déplacez $4$ à gauche de $e^{2 C}$ .

$| 2 y - 1 | = e^{2 C} x^{2} + 4 e^{2 C} x + 4 \cdot e^{2 C}$

Étape 3.7.4.1.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 C} x^{2} + 4 e^{2 C} x + 4 e^{2 C}$ .

$| 2 y - 1 | = x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C}$

Étape 3.7.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$2 y - 1 = \pm (x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C})$

Étape 3.7.4.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = \pm (x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C}) + 1$

Étape 3.7.4.4

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm (x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C}) + 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.4.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \pm (x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C}) + 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm (x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C})}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.7.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm (x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C})}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.7.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm (x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C})}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.7.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm (x^{2} e^{2 C} + 4 x e^{2 C} + 4 e^{2 C}) + 1}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm (x^{2} C + 4 x C + C) + 1}{2}$