Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - y}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{1 - y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \cdot \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $\sqrt{1 - y}$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y}} \cdot \frac{\sqrt{1 - y}}{x}$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 1 - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 1 - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

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Étape 2.2.6.1

Réécrivez $- (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ comme $- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - y$ .

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{\ln (| x |)}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 {(1 - y)}^{\frac{1}{2}}}{- 2} = \frac{\ln (| x |)}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Étape 3.1.2.2

Divisez ${(1 - y)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (| x |)}{- 2}$ comme $\frac{1}{- 2} \ln (| x |)$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{- 2} \ln (| x |) + \frac{C}{- 2}$

Étape 3.1.3.1.2

Simplifiez $\frac{1}{- 2} \ln (| x |)$ en déplaçant $- \frac{1}{- 2}$ dans le logarithme.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{- \frac{1}{- 2}}) + \frac{C}{- 2}$

Étape 3.1.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{- - \frac{1}{2}}) + \frac{C}{- 2}$

Étape 3.1.3.1.4

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.1.3.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{1 (\frac{1}{2})}) + \frac{C}{- 2}$

Étape 3.1.3.1.4.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + \frac{C}{- 2}$

Étape 3.1.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2}} = - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2}$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 - y)}^{1} = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez

$1 - y = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} - 1$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $- y = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- y = {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{{(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{{(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{{(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{{(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$ comme $- {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2}$ .

$y = - {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.4.2.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) - \frac{C}{2})}^{2} + 1$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - {(- \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) + C)}^{2} + 1$